Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19498 / 14274
↖ ↑ ↗
← N 22.573438°
E 34.211426°		 ← 1 128.05 m → N 22.573438°
E 34.222412°		 →
↑
1 128.05 m
↓
↑
1 128.05 m
↓
N 22.563293°
E 34.211426°		 ← 1 128.13 m →
1 272 540 m²		 N 22.563293°
E 34.222412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595046997070312 y=0.435623168945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595046997070312 × 215)
    floor (0.595046997070312 × 32768)
    floor (19498.5)     		tx = 19498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435623168945312 × 215)
    floor (0.435623168945312 × 32768)
    floor (14274.5)     		ty = 14274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19498 / 14274 ti = "15/19498/14274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19498/14274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19498 ÷ 215
    19498 ÷ 32768     		x = 0.59503173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14274 ÷ 215
    14274 ÷ 32768     		y = 0.43560791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59503173828125 × 2 - 1) × π
    0.1900634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59710202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43560791015625 × 2 - 1) × π
    0.1287841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.404587432793274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59710202} λ = 0.59710202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404587432793274))-π/2
    2×atan(1.49868406459415)-π/2
    2×0.982388573998341-π/2
    1.96477714799668-1.57079632675     		φ = 0.39398082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59710202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.211426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39398082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.573438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19498 KachelY 14274 0.59710202 0.39398082 34.211426 22.573438
    Oben rechts KachelX + 1 19499 KachelY 14274 0.59729377 0.39398082 34.222412 22.573438
    Unten links KachelX 19498 KachelY + 1 14275 0.59710202 0.39380376 34.211426 22.563293
    Unten rechts KachelX + 1 19499 KachelY + 1 14275 0.59729377 0.39380376 34.222412 22.563293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39398082-0.39380376) × R
    0.000177060000000007 × 6371000     		dl = 1128.04926000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39398082-0.39380376) × R
    0.000177060000000007 × 6371000     		dr = 1128.04926000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59710202-0.59729377) × cos(0.39398082) × R
    0.000191749999999935 × 0.923388273734003 × 6371000     		do = 1128.04735818282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59710202-0.59729377) × cos(0.39380376) × R
    0.000191749999999935 × 0.923456226801699 × 6371000     		du = 1128.13037231748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39398082)-sin(0.39380376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923388273734003-0.923456226801699)×R²
    abs(0.59729377-0.59710202)×6.79530676960249e-05×R²
    0.000191749999999935×6.79530676960249e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.79530676960249e-05×40589641000000     		ar = 1272539.81298446m²