Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19496 / 21164
↖ ↑ ↗
← S 46.407564°
E 34.189453°		 ← 842.31 m → S 46.407564°
E 34.200439°		 →
↑
842.25 m
↓
↑
842.25 m
↓
S 46.415139°
E 34.189453°		 ← 842.19 m →
709 379 m²		 S 46.415139°
E 34.200439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594985961914062 y=0.645889282226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594985961914062 × 215)
    floor (0.594985961914062 × 32768)
    floor (19496.5)     		tx = 19496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645889282226562 × 215)
    floor (0.645889282226562 × 32768)
    floor (21164.5)     		ty = 21164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19496 / 21164 ti = "15/19496/21164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19496/21164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19496 ÷ 215
    19496 ÷ 32768     		x = 0.594970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21164 ÷ 215
    21164 ÷ 32768     		y = 0.6458740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594970703125 × 2 - 1) × π
    0.18994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59671853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6458740234375 × 2 - 1) × π
    -0.291748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.916553520735474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59671853} λ = 0.59671853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.916553520735474))-π/2
    2×atan(0.39989489826586)-π/2
    2×0.380415768885567-π/2
    0.760831537771135-1.57079632675     		φ = -0.80996479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59671853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.189453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80996479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.407564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19496 KachelY 21164 0.59671853 -0.80996479 34.189453 -46.407564
    Oben rechts KachelX + 1 19497 KachelY 21164 0.59691027 -0.80996479 34.200439 -46.407564
    Unten links KachelX 19496 KachelY + 1 21165 0.59671853 -0.81009699 34.189453 -46.415139
    Unten rechts KachelX + 1 19497 KachelY + 1 21165 0.59691027 -0.81009699 34.200439 -46.415139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80996479--0.81009699) × R
    0.000132200000000027 × 6371000     		dl = 842.24620000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80996479--0.81009699) × R
    0.000132200000000027 × 6371000     		dr = 842.24620000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59671853-0.59691027) × cos(-0.80996479) × R
    0.000191739999999996 × 0.689523934675751 × 6371000     		do = 842.305572844436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59671853-0.59691027) × cos(-0.81009699) × R
    0.000191739999999996 × 0.689428181095738 × 6371000     		du = 842.188602613226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80996479)-sin(-0.81009699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689523934675751-0.689428181095738)×R²
    abs(0.59691027-0.59671853)×9.57535800122367e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57535800122367e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57535800122367e-05×40589641000000     		ar = 709379.410134093m²