Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19496 / 14376
↖ ↑ ↗
← N 21.534847°
E 34.189453°		 ← 1 136.30 m → N 21.534847°
E 34.200439°		 →
↑
1 136.33 m
↓
↑
1 136.33 m
↓
N 21.524627°
E 34.189453°		 ← 1 136.38 m →
1 291 262 m²		 N 21.524627°
E 34.200439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594985961914062 y=0.438735961914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594985961914062 × 215)
    floor (0.594985961914062 × 32768)
    floor (19496.5)     		tx = 19496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438735961914062 × 215)
    floor (0.438735961914062 × 32768)
    floor (14376.5)     		ty = 14376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19496 / 14376 ti = "15/19496/14376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19496/14376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19496 ÷ 215
    19496 ÷ 32768     		x = 0.594970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14376 ÷ 215
    14376 ÷ 32768     		y = 0.438720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594970703125 × 2 - 1) × π
    0.18994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59671853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438720703125 × 2 - 1) × π
    0.12255859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.385029177748291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59671853} λ = 0.59671853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385029177748291))-π/2
    2×atan(1.46965720210348)-π/2
    2×0.973325155441821-π/2
    1.94665031088364-1.57079632675     		φ = 0.37585398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59671853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.189453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37585398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.534847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19496 KachelY 14376 0.59671853 0.37585398 34.189453 21.534847
    Oben rechts KachelX + 1 19497 KachelY 14376 0.59691027 0.37585398 34.200439 21.534847
    Unten links KachelX 19496 KachelY + 1 14377 0.59671853 0.37567562 34.189453 21.524627
    Unten rechts KachelX + 1 19497 KachelY + 1 14377 0.59691027 0.37567562 34.200439 21.524627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37585398-0.37567562) × R
    0.000178359999999989 × 6371000     		dl = 1136.33155999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37585398-0.37567562) × R
    0.000178359999999989 × 6371000     		dr = 1136.33155999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59671853-0.59691027) × cos(0.37585398) × R
    0.000191739999999996 × 0.930194493234809 × 6371000     		do = 1136.30284037831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59671853-0.59691027) × cos(0.37567562) × R
    0.000191739999999996 × 0.930259948514183 × 6371000     		du = 1136.38279894656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37585398)-sin(0.37567562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930194493234809-0.930259948514183)×R²
    abs(0.59691027-0.59671853)×6.54552793744045e-05×R²
    0.000191739999999996×6.54552793744045e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.54552793744045e-05×40589641000000     		ar = 1291262.21238482m²