Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19495 / 35930
↖ ↑ ↗
← N 62.802468°
W126.455384°		 ← 139.60 m → N 62.802468°
W126.452637°		 →
↑
139.59 m
↓
↑
139.59 m
↓
N 62.801212°
W126.455384°		 ← 139.60 m →
19 487 m²		 N 62.801212°
W126.452637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.148738861083984 y=0.274127960205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.148738861083984 × 217)
    floor (0.148738861083984 × 131072)
    floor (19495.5)     		tx = 19495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274127960205078 × 217)
    floor (0.274127960205078 × 131072)
    floor (35930.5)     		ty = 35930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19495 / 35930 ti = "17/19495/35930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19495/35930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19495 ÷ 217
    19495 ÷ 131072     		x = 0.148735046386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35930 ÷ 217
    35930 ÷ 131072     		y = 0.274124145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.148735046386719 × 2 - 1) × π
    -0.702529907226562 × 3.1415926535     		Λ = -2.20706280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274124145507812 × 2 - 1) × π
    0.451751708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.41921985015138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20706280} λ = -2.20706280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41921985015138))-π/2
    2×atan(4.13389412503452)-π/2
    2×1.33345308546492-π/2
    2.66690617092984-1.57079632675     		φ = 1.09610984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20706280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.455384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09610984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.802468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19495 KachelY 35930 -2.20706280 1.09610984 -126.455384 62.802468
    Oben rechts KachelX + 1 19496 KachelY 35930 -2.20701486 1.09610984 -126.452637 62.802468
    Unten links KachelX 19495 KachelY + 1 35931 -2.20706280 1.09608793 -126.455384 62.801212
    Unten rechts KachelX + 1 19496 KachelY + 1 35931 -2.20701486 1.09608793 -126.452637 62.801212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09610984-1.09608793) × R
    2.19100000000694e-05 × 6371000     		dl = 139.588610000442m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09610984-1.09608793) × R
    2.19100000000694e-05 × 6371000     		dr = 139.588610000442m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20706280--2.20701486) × cos(1.09610984) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.457059619696073 × 6371000     		do = 139.5977725697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20706280--2.20701486) × cos(1.09608793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.457079107130431 × 6371000     		du = 139.60372453376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09610984)-sin(1.09608793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457059619696073-0.457079107130431)×R²
    abs(-2.20701486--2.20706280)×1.94874343581453e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94874343581453e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94874343581453e-05×40589641000000     		ar = 19486.6744460814m²