Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19495 / 14269
↖ ↑ ↗
← N 22.624152°
E 34.178467°		 ← 1 127.63 m → N 22.624152°
E 34.189453°		 →
↑
1 127.67 m
↓
↑
1 127.67 m
↓
N 22.614011°
E 34.178467°		 ← 1 127.71 m →
1 271 640 m²		 N 22.614011°
E 34.189453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594955444335938 y=0.435470581054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594955444335938 × 215)
    floor (0.594955444335938 × 32768)
    floor (19495.5)     		tx = 19495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435470581054688 × 215)
    floor (0.435470581054688 × 32768)
    floor (14269.5)     		ty = 14269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19495 / 14269 ti = "15/19495/14269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19495/14269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19495 ÷ 215
    19495 ÷ 32768     		x = 0.594940185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14269 ÷ 215
    14269 ÷ 32768     		y = 0.435455322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594940185546875 × 2 - 1) × π
    0.18988037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59652678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435455322265625 × 2 - 1) × π
    0.12908935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.405546170785675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59652678} λ = 0.59652678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.405546170785675))-π/2
    2×atan(1.50012159894477)-π/2
    2×0.982831136207528-π/2
    1.96566227241506-1.57079632675     		φ = 0.39486595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59652678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.178467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39486595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.624152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19495 KachelY 14269 0.59652678 0.39486595 34.178467 22.624152
    Oben rechts KachelX + 1 19496 KachelY 14269 0.59671853 0.39486595 34.189453 22.624152
    Unten links KachelX 19495 KachelY + 1 14270 0.59652678 0.39468895 34.178467 22.614011
    Unten rechts KachelX + 1 19496 KachelY + 1 14270 0.59671853 0.39468895 34.189453 22.614011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39486595-0.39468895) × R
    0.000177000000000038 × 6371000     		dl = 1127.66700000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39486595-0.39468895) × R
    0.000177000000000038 × 6371000     		dr = 1127.66700000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59652678-0.59671853) × cos(0.39486595) × R
    0.000191749999999935 × 0.923048139607824 × 6371000     		do = 1127.63183698402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59652678-0.59671853) × cos(0.39468895) × R
    0.000191749999999935 × 0.923116214297387 × 6371000     		du = 1127.71499969672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39486595)-sin(0.39468895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923048139607824-0.923116214297387)×R²
    abs(0.59671853-0.59652678)×6.80746895630469e-05×R²
    0.000191749999999935×6.80746895630469e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.80746895630469e-05×40589641000000     		ar = 1271640.10395968m²