Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19490 / 35744
↖ ↑ ↗
← N 63.035039°
W126.469116°		 ← 138.49 m → N 63.035039°
W126.466369°		 →
↑
138.51 m
↓
↑
138.51 m
↓
N 63.033794°
W126.469116°		 ← 138.50 m →
19 183 m²		 N 63.033794°
W126.466369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.148700714111328 y=0.272708892822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.148700714111328 × 217)
    floor (0.148700714111328 × 131072)
    floor (19490.5)     		tx = 19490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272708892822266 × 217)
    floor (0.272708892822266 × 131072)
    floor (35744.5)     		ty = 35744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19490 / 35744 ti = "17/19490/35744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19490/35744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19490 ÷ 217
    19490 ÷ 131072     		x = 0.148696899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35744 ÷ 217
    35744 ÷ 131072     		y = 0.272705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.148696899414062 × 2 - 1) × π
    -0.702606201171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.20730248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272705078125 × 2 - 1) × π
    0.45458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.42813611348071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20730248} λ = -2.20730248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42813611348071))-π/2
    2×atan(4.17091782487659)-π/2
    2×1.33548265347823-π/2
    2.67096530695645-1.57079632675     		φ = 1.10016898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20730248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.469116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10016898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.035039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19490 KachelY 35744 -2.20730248 1.10016898 -126.469116 63.035039
    Oben rechts KachelX + 1 19491 KachelY 35744 -2.20725454 1.10016898 -126.466369 63.035039
    Unten links KachelX 19490 KachelY + 1 35745 -2.20730248 1.10014724 -126.469116 63.033794
    Unten rechts KachelX + 1 19491 KachelY + 1 35745 -2.20725454 1.10014724 -126.466369 63.033794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10016898-1.10014724) × R
    2.17399999999923e-05 × 6371000     		dl = 138.505539999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10016898-1.10014724) × R
    2.17399999999923e-05 × 6371000     		dr = 138.505539999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20730248--2.20725454) × cos(1.10016898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453445518730545 × 6371000     		do = 138.49393310787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20730248--2.20725454) × cos(1.10014724) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453464895137461 × 6371000     		du = 138.499851161291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10016898)-sin(1.10014724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453445518730545-0.453464895137461)×R²
    abs(-2.20725454--2.20730248)×1.93764069162938e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93764069162938e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93764069162938e-05×40589641000000     		ar = 19182.5868339644m²