Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1949 / 2375
↖ ↑ ↗
← S 27.605671°
W  8.701172°		 ← 8 660.41 m → S 27.605671°
W  8.613281°		 →
↑
8 657.30 m
↓
↑
8 657.30 m
↓
S 27.683528°
W  8.701172°		 ← 8 654.25 m →
74 949 060 m²		 S 27.683528°
W  8.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4759521484375 y=0.5799560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4759521484375 × 212)
    floor (0.4759521484375 × 4096)
    floor (1949.5)     		tx = 1949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5799560546875 × 212)
    floor (0.5799560546875 × 4096)
    floor (2375.5)     		ty = 2375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1949 / 2375 ti = "12/1949/2375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1949/2375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1949 ÷ 212
    1949 ÷ 4096     		x = 0.475830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2375 ÷ 212
    2375 ÷ 4096     		y = 0.579833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475830078125 × 2 - 1) × π
    -0.04833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15186410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579833984375 × 2 - 1) × π
    -0.15966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.501611717624268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15186410} λ = -0.15186410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.501611717624268))-π/2
    2×atan(0.605553890907905)-π/2
    2×0.544493239332018-π/2
    1.08898647866404-1.57079632675     		φ = -0.48180985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15186410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.701172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48180985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.605671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1949 KachelY 2375 -0.15186410 -0.48180985 -8.701172 -27.605671
    Oben rechts KachelX + 1 1950 KachelY 2375 -0.15033012 -0.48180985 -8.613281 -27.605671
    Unten links KachelX 1949 KachelY + 1 2376 -0.15186410 -0.48316871 -8.701172 -27.683528
    Unten rechts KachelX + 1 1950 KachelY + 1 2376 -0.15033012 -0.48316871 -8.613281 -27.683528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48180985--0.48316871) × R
    0.00135886000000002 × 6371000     		dl = 8657.29706000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48180985--0.48316871) × R
    0.00135886000000002 × 6371000     		dr = 8657.29706000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15186410--0.15033012) × cos(-0.48180985) × R
    0.00153397999999999 × 0.886157719493861 × 6371000     		do = 8660.40750037686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15186410--0.15033012) × cos(-0.48316871) × R
    0.00153397999999999 × 0.885527227905161 × 6371000     		du = 8654.24571454169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48180985)-sin(-0.48316871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886157719493861-0.885527227905161)×R²
    abs(-0.15033012--0.15186410)×0.000630491588699877×R²
    0.00153397999999999×0.000630491588699877×6371000²
    0.00153397999999999×0.000630491588699877×40589641000000     		ar = 74949059.7190085m²