Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1949 / 2165
↖ ↑ ↗
← N 78.677557°
W137.175293°		 ← 479.68 m → N 78.677557°
W137.153320°		 →
↑
479.74 m
↓
↑
479.74 m
↓
N 78.673242°
W137.175293°		 ← 479.86 m →
230 162 m²		 N 78.673242°
W137.153320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.118988037109375 y=0.132171630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.118988037109375 × 214)
    floor (0.118988037109375 × 16384)
    floor (1949.5)     		tx = 1949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132171630859375 × 214)
    floor (0.132171630859375 × 16384)
    floor (2165.5)     		ty = 2165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1949 / 2165 ti = "14/1949/2165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1949/2165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1949 ÷ 214
    1949 ÷ 16384     		x = 0.11895751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2165 ÷ 214
    2165 ÷ 16384     		y = 0.13214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11895751953125 × 2 - 1) × π
    -0.7620849609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.39416051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13214111328125 × 2 - 1) × π
    0.7357177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31132555208063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39416051} λ = -2.39416051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31132555208063))-π/2
    2×atan(10.0877876843151)-π/2
    2×1.47198936935773-π/2
    2.94397873871546-1.57079632675     		φ = 1.37318241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39416051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.175293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37318241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.677557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1949 KachelY 2165 -2.39416051 1.37318241 -137.175293 78.677557
    Oben rechts KachelX + 1 1950 KachelY 2165 -2.39377702 1.37318241 -137.153320 78.677557
    Unten links KachelX 1949 KachelY + 1 2166 -2.39416051 1.37310711 -137.175293 78.673242
    Unten rechts KachelX + 1 1950 KachelY + 1 2166 -2.39377702 1.37310711 -137.153320 78.673242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37318241-1.37310711) × R
    7.53000000000004e-05 × 6371000     		dl = 479.736300000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37318241-1.37310711) × R
    7.53000000000004e-05 × 6371000     		dr = 479.736300000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39416051--2.39377702) × cos(1.37318241) × R
    0.000383489999999931 × 0.196330247061783 × 6371000     		do = 479.676963345616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39416051--2.39377702) × cos(1.37310711) × R
    0.000383489999999931 × 0.196404081003632 × 6371000     		du = 479.857355524344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37318241)-sin(1.37310711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196330247061783-0.196404081003632)×R²
    abs(-2.39377702--2.39416051)×7.38339418484002e-05×R²
    0.000383489999999931×7.38339418484002e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.38339418484002e-05×40589641000000     		ar = 230161.72203792m²