Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1949 / 2150
↖ ↑ ↗
← N 78.742083°
W137.175293°		 ← 476.98 m → N 78.742083°
W137.153320°		 →
↑
477.06 m
↓
↑
477.06 m
↓
N 78.737793°
W137.175293°		 ← 477.16 m →
227 590 m²		 N 78.737793°
W137.153320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.118988037109375 y=0.131256103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.118988037109375 × 214)
    floor (0.118988037109375 × 16384)
    floor (1949.5)     		tx = 1949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131256103515625 × 214)
    floor (0.131256103515625 × 16384)
    floor (2150.5)     		ty = 2150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1949 / 2150 ti = "14/1949/2150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1949/2150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1949 ÷ 214
    1949 ÷ 16384     		x = 0.11895751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2150 ÷ 214
    2150 ÷ 16384     		y = 0.1312255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11895751953125 × 2 - 1) × π
    -0.7620849609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.39416051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1312255859375 × 2 - 1) × π
    0.737548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31707798003503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39416051} λ = -2.39416051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31707798003503))-π/2
    2×atan(10.1459841812877)-π/2
    2×1.4725524674707-π/2
    2.9451049349414-1.57079632675     		φ = 1.37430861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39416051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.175293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37430861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.742083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1949 KachelY 2150 -2.39416051 1.37430861 -137.175293 78.742083
    Oben rechts KachelX + 1 1950 KachelY 2150 -2.39377702 1.37430861 -137.153320 78.742083
    Unten links KachelX 1949 KachelY + 1 2151 -2.39416051 1.37423373 -137.175293 78.737793
    Unten rechts KachelX + 1 1950 KachelY + 1 2151 -2.39377702 1.37423373 -137.153320 78.737793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37430861-1.37423373) × R
    7.48799999998884e-05 × 6371000     		dl = 477.060479999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37430861-1.37423373) × R
    7.48799999998884e-05 × 6371000     		dr = 477.060479999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39416051--2.39377702) × cos(1.37430861) × R
    0.000383489999999931 × 0.195225841086793 × 6371000     		do = 476.978662333357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39416051--2.39377702) × cos(1.37423373) × R
    0.000383489999999931 × 0.195299279721979 × 6371000     		du = 477.158088692999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37430861)-sin(1.37423373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195225841086793-0.195299279721979)×R²
    abs(-2.39377702--2.39416051)×7.34386351853022e-05×R²
    0.000383489999999931×7.34386351853022e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.34386351853022e-05×40589641000000     		ar = 227590.468320789m²