Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19489 / 21187
↖ ↑ ↗
← S 46.581519°
E 34.112549°		 ← 839.66 m → S 46.581519°
E 34.123535°		 →
↑
839.57 m
↓
↑
839.57 m
↓
S 46.589069°
E 34.112549°		 ← 839.54 m →
704 904 m²		 S 46.589069°
E 34.123535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594772338867188 y=0.646591186523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594772338867188 × 215)
    floor (0.594772338867188 × 32768)
    floor (19489.5)     		tx = 19489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646591186523438 × 215)
    floor (0.646591186523438 × 32768)
    floor (21187.5)     		ty = 21187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19489 / 21187 ti = "15/19489/21187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19489/21187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19489 ÷ 215
    19489 ÷ 32768     		x = 0.594757080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21187 ÷ 215
    21187 ÷ 32768     		y = 0.646575927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594757080078125 × 2 - 1) × π
    0.18951416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59537629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646575927734375 × 2 - 1) × π
    -0.29315185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.920963715500519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59537629} λ = 0.59537629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.920963715500519))-π/2
    2×atan(0.398135167109729)-π/2
    2×0.37889772950436-π/2
    0.75779545900872-1.57079632675     		φ = -0.81300087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59537629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.112549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81300087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.581519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19489 KachelY 21187 0.59537629 -0.81300087 34.112549 -46.581519
    Oben rechts KachelX + 1 19490 KachelY 21187 0.59556804 -0.81300087 34.123535 -46.581519
    Unten links KachelX 19489 KachelY + 1 21188 0.59537629 -0.81313265 34.112549 -46.589069
    Unten rechts KachelX + 1 19490 KachelY + 1 21188 0.59556804 -0.81313265 34.123535 -46.589069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81300087--0.81313265) × R
    0.000131780000000026 × 6371000     		dl = 839.570380000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81300087--0.81313265) × R
    0.000131780000000026 × 6371000     		dr = 839.570380000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59537629-0.59556804) × cos(-0.81300087) × R
    0.000191749999999935 × 0.687321840020452 × 6371000     		do = 839.65933715092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59537629-0.59556804) × cos(-0.81313265) × R
    0.000191749999999935 × 0.687226115253693 × 6371000     		du = 839.54239601865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81300087)-sin(-0.81313265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687321840020452-0.687226115253693)×R²
    abs(0.59556804-0.59537629)×9.57247667590089e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57247667590089e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57247667590089e-05×40589641000000     		ar = 704904.019627283m²