Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19489 / 21177
↖ ↑ ↗
← S 46.505955°
E 34.112549°		 ← 840.83 m → S 46.505955°
E 34.123535°		 →
↑
840.72 m
↓
↑
840.72 m
↓
S 46.513515°
E 34.112549°		 ← 840.71 m →
706 850 m²		 S 46.513515°
E 34.123535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594772338867188 y=0.646286010742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594772338867188 × 215)
    floor (0.594772338867188 × 32768)
    floor (19489.5)     		tx = 19489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646286010742188 × 215)
    floor (0.646286010742188 × 32768)
    floor (21177.5)     		ty = 21177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19489 / 21177 ti = "15/19489/21177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19489/21177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19489 ÷ 215
    19489 ÷ 32768     		x = 0.594757080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21177 ÷ 215
    21177 ÷ 32768     		y = 0.646270751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594757080078125 × 2 - 1) × π
    0.18951416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59537629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.29254150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.919046239515717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59537629} λ = 0.59537629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.919046239515717))-π/2
    2×atan(0.398899314114003)-π/2
    2×0.379557149978075-π/2
    0.75911429995615-1.57079632675     		φ = -0.81168203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59537629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.112549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81168203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.505955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19489 KachelY 21177 0.59537629 -0.81168203 34.112549 -46.505955
    Oben rechts KachelX + 1 19490 KachelY 21177 0.59556804 -0.81168203 34.123535 -46.505955
    Unten links KachelX 19489 KachelY + 1 21178 0.59537629 -0.81181399 34.112549 -46.513515
    Unten rechts KachelX + 1 19490 KachelY + 1 21178 0.59556804 -0.81181399 34.123535 -46.513515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81168203--0.81181399) × R
    0.000131959999999931 × 6371000     		dl = 840.717159999561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81168203--0.81181399) × R
    0.000131959999999931 × 6371000     		dr = 840.717159999561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59537629-0.59556804) × cos(-0.81168203) × R
    0.000191749999999935 × 0.688279185397458 × 6371000     		do = 840.828867839276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59537629-0.59556804) × cos(-0.81181399) × R
    0.000191749999999935 × 0.688183449563287 × 6371000     		du = 840.711913186622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81168203)-sin(-0.81181399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688279185397458-0.688183449563287)×R²
    abs(0.59556804-0.59537629)×9.57358341704406e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57358341704406e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57358341704406e-05×40589641000000     		ar = 706850.095949625m²