Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19486 / 21186
↖ ↑ ↗
← S 46.573967°
E 34.079590°		 ← 839.78 m → S 46.573967°
E 34.090576°		 →
↑
839.70 m
↓
↑
839.70 m
↓
S 46.581519°
E 34.079590°		 ← 839.66 m →
705 109 m²		 S 46.581519°
E 34.090576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594680786132812 y=0.646560668945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594680786132812 × 215)
    floor (0.594680786132812 × 32768)
    floor (19486.5)     		tx = 19486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646560668945312 × 215)
    floor (0.646560668945312 × 32768)
    floor (21186.5)     		ty = 21186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19486 / 21186 ti = "15/19486/21186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19486/21186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19486 ÷ 215
    19486 ÷ 32768     		x = 0.59466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21186 ÷ 215
    21186 ÷ 32768     		y = 0.64654541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59466552734375 × 2 - 1) × π
    0.1893310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59480105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64654541015625 × 2 - 1) × π
    -0.2930908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.920771967902039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59480105} λ = 0.59480105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.920771967902039))-π/2
    2×atan(0.398211515891507)-π/2
    2×0.378963630249531-π/2
    0.757927260499062-1.57079632675     		φ = -0.81286907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59480105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.079590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81286907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.573967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19486 KachelY 21186 0.59480105 -0.81286907 34.079590 -46.573967
    Oben rechts KachelX + 1 19487 KachelY 21186 0.59499280 -0.81286907 34.090576 -46.573967
    Unten links KachelX 19486 KachelY + 1 21187 0.59480105 -0.81300087 34.079590 -46.581519
    Unten rechts KachelX + 1 19487 KachelY + 1 21187 0.59499280 -0.81300087 34.090576 -46.581519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81286907--0.81300087) × R
    0.000131800000000015 × 6371000     		dl = 839.697800000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81286907--0.81300087) × R
    0.000131800000000015 × 6371000     		dr = 839.697800000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59480105-0.59499280) × cos(-0.81286907) × R
    0.000191749999999935 × 0.68741756737645 × 6371000     		do = 839.776281446306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59480105-0.59499280) × cos(-0.81300087) × R
    0.000191749999999935 × 0.687321840020452 × 6371000     		du = 839.65933715092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81286907)-sin(-0.81300087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68741756737645-0.687321840020452)×R²
    abs(0.59499280-0.59480105)×9.57273559980543e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57273559980543e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57273559980543e-05×40589641000000     		ar = 705109.198109238m²