Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19486 / 14272
↖ ↑ ↗
← N 22.593726°
E 34.079590°		 ← 1 127.88 m → N 22.593726°
E 34.090576°		 →
↑
1 127.92 m
↓
↑
1 127.92 m
↓
N 22.583582°
E 34.079590°		 ← 1 127.96 m →
1 272 209 m²		 N 22.583582°
E 34.090576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594680786132812 y=0.435562133789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594680786132812 × 215)
    floor (0.594680786132812 × 32768)
    floor (19486.5)     		tx = 19486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435562133789062 × 215)
    floor (0.435562133789062 × 32768)
    floor (14272.5)     		ty = 14272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19486 / 14272 ti = "15/19486/14272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19486/14272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19486 ÷ 215
    19486 ÷ 32768     		x = 0.59466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14272 ÷ 215
    14272 ÷ 32768     		y = 0.435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59466552734375 × 2 - 1) × π
    0.1893310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59480105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435546875 × 2 - 1) × π
    0.12890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.404970927990234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59480105} λ = 0.59480105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404970927990234))-π/2
    2×atan(1.49925891295343)-π/2
    2×0.982565618446718-π/2
    1.96513123689344-1.57079632675     		φ = 0.39433491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59480105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.079590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39433491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.593726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19486 KachelY 14272 0.59480105 0.39433491 34.079590 22.593726
    Oben rechts KachelX + 1 19487 KachelY 14272 0.59499280 0.39433491 34.090576 22.593726
    Unten links KachelX 19486 KachelY + 1 14273 0.59480105 0.39415787 34.079590 22.583582
    Unten rechts KachelX + 1 19487 KachelY + 1 14273 0.59499280 0.39415787 34.090576 22.583582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39433491-0.39415787) × R
    0.000177039999999962 × 6371000     		dl = 1127.92183999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39433491-0.39415787) × R
    0.000177039999999962 × 6371000     		dr = 1127.92183999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59480105-0.59499280) × cos(0.39433491) × R
    0.000191749999999935 × 0.923252292281228 × 6371000     		do = 1127.88123790284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59480105-0.59499280) × cos(0.39415787) × R
    0.000191749999999935 × 0.923320295558168 × 6371000     		du = 1127.96431337508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39433491)-sin(0.39415787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923252292281228-0.923320295558168)×R²
    abs(0.59499280-0.59480105)×6.80032769397876e-05×R²
    0.000191749999999935×6.80032769397876e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.80032769397876e-05×40589641000000     		ar = 1272208.7357992m²