Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19485 / 21179
↖ ↑ ↗
← S 46.521076°
E 34.068603°		 ← 840.59 m → S 46.521076°
E 34.079590°		 →
↑
840.53 m
↓
↑
840.53 m
↓
S 46.528635°
E 34.068603°		 ← 840.48 m →
706 493 m²		 S 46.528635°
E 34.079590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594650268554688 y=0.646347045898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594650268554688 × 215)
    floor (0.594650268554688 × 32768)
    floor (19485.5)     		tx = 19485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646347045898438 × 215)
    floor (0.646347045898438 × 32768)
    floor (21179.5)     		ty = 21179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19485 / 21179 ti = "15/19485/21179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19485/21179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19485 ÷ 215
    19485 ÷ 32768     		x = 0.594635009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21179 ÷ 215
    21179 ÷ 32768     		y = 0.646331787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594635009765625 × 2 - 1) × π
    0.18927001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59460930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646331787109375 × 2 - 1) × π
    -0.29266357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.919429734712677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59460930} λ = 0.59460930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.919429734712677))-π/2
    2×atan(0.398746367471995)-π/2
    2×0.379425192454757-π/2
    0.758850384909515-1.57079632675     		φ = -0.81194594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59460930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.068603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81194594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.521076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19485 KachelY 21179 0.59460930 -0.81194594 34.068603 -46.521076
    Oben rechts KachelX + 1 19486 KachelY 21179 0.59480105 -0.81194594 34.079590 -46.521076
    Unten links KachelX 19485 KachelY + 1 21180 0.59460930 -0.81207787 34.068603 -46.528635
    Unten rechts KachelX + 1 19486 KachelY + 1 21180 0.59480105 -0.81207787 34.079590 -46.528635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81194594--0.81207787) × R
    0.000131930000000002 × 6371000     		dl = 840.526030000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81194594--0.81207787) × R
    0.000131930000000002 × 6371000     		dr = 840.526030000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59460930-0.59480105) × cos(-0.81194594) × R
    0.000191750000000046 × 0.68808770900175 × 6371000     		do = 840.594952759317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59460930-0.59480105) × cos(-0.81207787) × R
    0.000191750000000046 × 0.687991970974419 × 6371000     		du = 840.477995427413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81194594)-sin(-0.81207787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68808770900175-0.687991970974419)×R²
    abs(0.59480105-0.59460930)×9.57380273305386e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57380273305386e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57380273305386e-05×40589641000000     		ar = 706492.786664684m²