Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19485 / 14270
↖ ↑ ↗
← N 22.614011°
E 34.068603°		 ← 1 127.71 m → N 22.614011°
E 34.079590°		 →
↑
1 127.73 m
↓
↑
1 127.73 m
↓
N 22.603869°
E 34.068603°		 ← 1 127.80 m →
1 271 806 m²		 N 22.603869°
E 34.079590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594650268554688 y=0.435501098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594650268554688 × 215)
    floor (0.594650268554688 × 32768)
    floor (19485.5)     		tx = 19485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435501098632812 × 215)
    floor (0.435501098632812 × 32768)
    floor (14270.5)     		ty = 14270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19485 / 14270 ti = "15/19485/14270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19485/14270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19485 ÷ 215
    19485 ÷ 32768     		x = 0.594635009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14270 ÷ 215
    14270 ÷ 32768     		y = 0.43548583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594635009765625 × 2 - 1) × π
    0.18927001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59460930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43548583984375 × 2 - 1) × π
    0.1290283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.405354423187195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59460930} λ = 0.59460930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.405354423187195))-π/2
    2×atan(1.49983398180657)-π/2
    2×0.982742636811882-π/2
    1.96548527362376-1.57079632675     		φ = 0.39468895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59460930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.068603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39468895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.614011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19485 KachelY 14270 0.59460930 0.39468895 34.068603 22.614011
    Oben rechts KachelX + 1 19486 KachelY 14270 0.59480105 0.39468895 34.079590 22.614011
    Unten links KachelX 19485 KachelY + 1 14271 0.59460930 0.39451194 34.068603 22.603869
    Unten rechts KachelX + 1 19486 KachelY + 1 14271 0.59480105 0.39451194 34.079590 22.603869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39468895-0.39451194) × R
    0.000177009999999977 × 6371000     		dl = 1127.73070999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39468895-0.39451194) × R
    0.000177009999999977 × 6371000     		dr = 1127.73070999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59460930-0.59480105) × cos(0.39468895) × R
    0.000191750000000046 × 0.923116214297387 × 6371000     		do = 1127.71499969737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59460930-0.59480105) × cos(0.39451194) × R
    0.000191750000000046 × 0.923184263910219 × 6371000     		du = 1127.79813177535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39468895)-sin(0.39451194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923116214297387-0.923184263910219)×R²
    abs(0.59480105-0.59460930)×6.80496128319108e-05×R²
    0.000191750000000046×6.80496128319108e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.80496128319108e-05×40589641000000     		ar = 1271805.71590574m²