Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19484 / 31716
↖ ↑ ↗
← N 67.638497°
W126.485596°		 ← 116.20 m → N 67.638497°
W126.482849°		 →
↑
116.21 m
↓
↑
116.21 m
↓
N 67.637452°
W126.485596°		 ← 116.20 m →
13 503 m²		 N 67.637452°
W126.482849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.148654937744141 y=0.241977691650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.148654937744141 × 217)
    floor (0.148654937744141 × 131072)
    floor (19484.5)     		tx = 19484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241977691650391 × 217)
    floor (0.241977691650391 × 131072)
    floor (31716.5)     		ty = 31716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19484 / 31716 ti = "17/19484/31716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19484/31716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19484 ÷ 217
    19484 ÷ 131072     		x = 0.148651123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31716 ÷ 217
    31716 ÷ 131072     		y = 0.241973876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.148651123046875 × 2 - 1) × π
    -0.70269775390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.20759010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241973876953125 × 2 - 1) × π
    0.51605224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.6212259451503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20759010} λ = -2.20759010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6212259451503))-π/2
    2×atan(5.0592889269333)-π/2
    2×1.37565539974023-π/2
    2.75131079948045-1.57079632675     		φ = 1.18051447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20759010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.485596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18051447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.638497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19484 KachelY 31716 -2.20759010 1.18051447 -126.485596 67.638497
    Oben rechts KachelX + 1 19485 KachelY 31716 -2.20754216 1.18051447 -126.482849 67.638497
    Unten links KachelX 19484 KachelY + 1 31717 -2.20759010 1.18049623 -126.485596 67.637452
    Unten rechts KachelX + 1 19485 KachelY + 1 31717 -2.20754216 1.18049623 -126.482849 67.637452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18051447-1.18049623) × R
    1.82400000001692e-05 × 6371000     		dl = 116.207040001078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18051447-1.18049623) × R
    1.82400000001692e-05 × 6371000     		dr = 116.207040001078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20759010--2.20754216) × cos(1.18051447) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38044909192119 × 6371000     		do = 116.198945432281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20759010--2.20754216) × cos(1.18049623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380465960243909 × 6371000     		du = 116.20409745223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18051447)-sin(1.18049623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38044909192119-0.380465960243909)×R²
    abs(-2.20754216--2.20759010)×1.68683227192434e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68683227192434e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68683227192434e-05×40589641000000     		ar = 13503.4348507465m²