Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19484 / 21180
↖ ↑ ↗
← S 46.528635°
E 34.057617°		 ← 840.43 m → S 46.528635°
E 34.068603°		 →
↑
840.40 m
↓
↑
840.40 m
↓
S 46.536192°
E 34.057617°		 ← 840.32 m →
706 251 m²		 S 46.536192°
E 34.068603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594619750976562 y=0.646377563476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594619750976562 × 215)
    floor (0.594619750976562 × 32768)
    floor (19484.5)     		tx = 19484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646377563476562 × 215)
    floor (0.646377563476562 × 32768)
    floor (21180.5)     		ty = 21180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19484 / 21180 ti = "15/19484/21180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19484/21180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19484 ÷ 215
    19484 ÷ 32768     		x = 0.5946044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21180 ÷ 215
    21180 ÷ 32768     		y = 0.6463623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5946044921875 × 2 - 1) × π
    0.189208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59441756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6463623046875 × 2 - 1) × π
    -0.292724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.919621482311157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59441756} λ = 0.59441756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.919621482311157))-π/2
    2×atan(0.398669916143543)-π/2
    2×0.379359227461411-π/2
    0.758718454922821-1.57079632675     		φ = -0.81207787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59441756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.057617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81207787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.528635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19484 KachelY 21180 0.59441756 -0.81207787 34.057617 -46.528635
    Oben rechts KachelX + 1 19485 KachelY 21180 0.59460930 -0.81207787 34.068603 -46.528635
    Unten links KachelX 19484 KachelY + 1 21181 0.59441756 -0.81220978 34.057617 -46.536192
    Unten rechts KachelX + 1 19485 KachelY + 1 21181 0.59460930 -0.81220978 34.068603 -46.536192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81207787--0.81220978) × R
    0.000131910000000013 × 6371000     		dl = 840.398610000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81207787--0.81220978) × R
    0.000131910000000013 × 6371000     		dr = 840.398610000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59441756-0.59460930) × cos(-0.81207787) × R
    0.000191739999999996 × 0.687991970974419 × 6371000     		do = 840.434163458722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59441756-0.59460930) × cos(-0.81220978) × R
    0.000191739999999996 × 0.687896235488408 × 6371000     		du = 840.317215330701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81207787)-sin(-0.81220978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687991970974419-0.687896235488408)×R²
    abs(0.59460930-0.59441756)×9.57354860109394e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57354860109394e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57354860109394e-05×40589641000000     		ar = 706250.56226863m²