Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19483 / 21185
↖ ↑ ↗
← S 46.566414°
E 34.046631°		 ← 839.89 m → S 46.566414°
E 34.057617°		 →
↑
839.83 m
↓
↑
839.83 m
↓
S 46.573967°
E 34.046631°		 ← 839.78 m →
705 314 m²		 S 46.573967°
E 34.057617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594589233398438 y=0.646530151367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594589233398438 × 215)
    floor (0.594589233398438 × 32768)
    floor (19483.5)     		tx = 19483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646530151367188 × 215)
    floor (0.646530151367188 × 32768)
    floor (21185.5)     		ty = 21185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19483 / 21185 ti = "15/19483/21185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19483/21185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19483 ÷ 215
    19483 ÷ 32768     		x = 0.594573974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21185 ÷ 215
    21185 ÷ 32768     		y = 0.646514892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594573974609375 × 2 - 1) × π
    0.18914794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59422581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646514892578125 × 2 - 1) × π
    -0.29302978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.920580220303558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59422581} λ = 0.59422581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.920580220303558))-π/2
    2×atan(0.398287879314384)-π/2
    2×0.379029540172618-π/2
    0.758059080345235-1.57079632675     		φ = -0.81273725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59422581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.046631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81273725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.566414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19483 KachelY 21185 0.59422581 -0.81273725 34.046631 -46.566414
    Oben rechts KachelX + 1 19484 KachelY 21185 0.59441756 -0.81273725 34.057617 -46.566414
    Unten links KachelX 19483 KachelY + 1 21186 0.59422581 -0.81286907 34.046631 -46.573967
    Unten rechts KachelX + 1 19484 KachelY + 1 21186 0.59441756 -0.81286907 34.057617 -46.573967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81273725--0.81286907) × R
    0.000131820000000005 × 6371000     		dl = 839.82522000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81273725--0.81286907) × R
    0.000131820000000005 × 6371000     		dr = 839.82522000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59422581-0.59441756) × cos(-0.81273725) × R
    0.000191750000000046 × 0.687513297314588 × 6371000     		do = 839.893228896622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59422581-0.59441756) × cos(-0.81286907) × R
    0.000191750000000046 × 0.68741756737645 × 6371000     		du = 839.776281446792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81273725)-sin(-0.81286907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687513297314588-0.68741756737645)×R²
    abs(0.59441756-0.59422581)×9.57299381384447e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57299381384447e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57299381384447e-05×40589641000000     		ar = 705314.409046959m²