Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19480 / 14777
↖ ↑ ↗
← N 17.382095°
E 34.013672°		 ← 1 165.85 m → N 17.382095°
E 34.024658°		 →
↑
1 165.89 m
↓
↑
1 165.89 m
↓
N 17.371610°
E 34.013672°		 ← 1 165.92 m →
1 359 297 m²		 N 17.371610°
E 34.024658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594497680664062 y=0.450973510742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594497680664062 × 215)
    floor (0.594497680664062 × 32768)
    floor (19480.5)     		tx = 19480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450973510742188 × 215)
    floor (0.450973510742188 × 32768)
    floor (14777.5)     		ty = 14777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19480 / 14777 ti = "15/19480/14777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19480/14777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19480 ÷ 215
    19480 ÷ 32768     		x = 0.594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14777 ÷ 215
    14777 ÷ 32768     		y = 0.450958251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594482421875 × 2 - 1) × π
    0.18896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59365056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450958251953125 × 2 - 1) × π
    0.09808349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.308138390757721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59365056} λ = 0.59365056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.308138390757721))-π/2
    2×atan(1.36088931040872)-π/2
    2×0.937085557260613-π/2
    1.87417111452123-1.57079632675     		φ = 0.30337479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59365056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.013672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30337479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.382095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19480 KachelY 14777 0.59365056 0.30337479 34.013672 17.382095
    Oben rechts KachelX + 1 19481 KachelY 14777 0.59384231 0.30337479 34.024658 17.382095
    Unten links KachelX 19480 KachelY + 1 14778 0.59365056 0.30319179 34.013672 17.371610
    Unten rechts KachelX + 1 19481 KachelY + 1 14778 0.59384231 0.30319179 34.024658 17.371610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30337479-0.30319179) × R
    0.000182999999999989 × 6371000     		dl = 1165.89299999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30337479-0.30319179) × R
    0.000182999999999989 × 6371000     		dr = 1165.89299999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59365056-0.59384231) × cos(0.30337479) × R
    0.000191749999999935 × 0.954333732122867 × 6371000     		do = 1165.85154475988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59365056-0.59384231) × cos(0.30319179) × R
    0.000191749999999935 × 0.95438838603444 × 6371000     		du = 1165.91831212343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30337479)-sin(0.30319179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954333732122867-0.95438838603444)×R²
    abs(0.59384231-0.59365056)×5.46539115732214e-05×R²
    0.000191749999999935×5.46539115732214e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.46539115732214e-05×40589641000000     		ar = 1359297.08066906m²