Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1948 / 2681
↖ ↑ ↗
← N 76.221675°
W137.197266°		 ← 581.91 m → N 76.221675°
W137.175293°		 →
↑
581.99 m
↓
↑
581.99 m
↓
N 76.216441°
W137.197266°		 ← 582.12 m →
338 727 m²		 N 76.216441°
W137.175293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.118927001953125 y=0.163665771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.118927001953125 × 214)
    floor (0.118927001953125 × 16384)
    floor (1948.5)     		tx = 1948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163665771484375 × 214)
    floor (0.163665771484375 × 16384)
    floor (2681.5)     		ty = 2681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1948 / 2681 ti = "14/1948/2681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1948/2681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1948 ÷ 214
    1948 ÷ 16384     		x = 0.118896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2681 ÷ 214
    2681 ÷ 16384     		y = 0.16363525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.118896484375 × 2 - 1) × π
    -0.76220703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.39454401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16363525390625 × 2 - 1) × π
    0.6727294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11344203044904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39454401} λ = -2.39454401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11344203044904))-π/2
    2×atan(8.27668089921066)-π/2
    2×1.45055776055194-π/2
    2.90111552110389-1.57079632675     		φ = 1.33031919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39454401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.197266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33031919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.221675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1948 KachelY 2681 -2.39454401 1.33031919 -137.197266 76.221675
    Oben rechts KachelX + 1 1949 KachelY 2681 -2.39416051 1.33031919 -137.175293 76.221675
    Unten links KachelX 1948 KachelY + 1 2682 -2.39454401 1.33022784 -137.197266 76.216441
    Unten rechts KachelX + 1 1949 KachelY + 1 2682 -2.39416051 1.33022784 -137.175293 76.216441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33031919-1.33022784) × R
    9.13499999999345e-05 × 6371000     		dl = 581.990849999583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33031919-1.33022784) × R
    9.13499999999345e-05 × 6371000     		dr = 581.990849999583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39454401--2.39416051) × cos(1.33031919) × R
    0.000383500000000314 × 0.238166060439999 × 6371000     		do = 581.906014903227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39454401--2.39416051) × cos(1.33022784) × R
    0.000383500000000314 × 0.238254780799439 × 6371000     		du = 582.122783449959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33031919)-sin(1.33022784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238166060439999-0.238254780799439)×R²
    abs(-2.39416051--2.39454401)×8.87203594398533e-05×R²
    0.000383500000000314×8.87203594398533e-05×6371000²
    0.000383500000000314×8.87203594398533e-05×40589641000000     		ar = 338727.055123839m²