Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1948 / 2678
↖ ↑ ↗
← N 76.237366°
W137.197266°		 ← 581.26 m → N 76.237366°
W137.175293°		 →
↑
581.35 m
↓
↑
581.35 m
↓
N 76.232138°
W137.197266°		 ← 581.47 m →
337 978 m²		 N 76.232138°
W137.175293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.118927001953125 y=0.163482666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.118927001953125 × 214)
    floor (0.118927001953125 × 16384)
    floor (1948.5)     		tx = 1948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163482666015625 × 214)
    floor (0.163482666015625 × 16384)
    floor (2678.5)     		ty = 2678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1948 / 2678 ti = "14/1948/2678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1948/2678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1948 ÷ 214
    1948 ÷ 16384     		x = 0.118896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2678 ÷ 214
    2678 ÷ 16384     		y = 0.1634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.118896484375 × 2 - 1) × π
    -0.76220703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.39454401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1634521484375 × 2 - 1) × π
    0.673095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11459251603992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39454401} λ = -2.39454401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11459251603992))-π/2
    2×atan(8.28620858100491)-π/2
    2×1.45069468734435-π/2
    2.9013893746887-1.57079632675     		φ = 1.33059305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39454401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.197266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33059305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.237366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1948 KachelY 2678 -2.39454401 1.33059305 -137.197266 76.237366
    Oben rechts KachelX + 1 1949 KachelY 2678 -2.39416051 1.33059305 -137.175293 76.237366
    Unten links KachelX 1948 KachelY + 1 2679 -2.39454401 1.33050180 -137.197266 76.232138
    Unten rechts KachelX + 1 1949 KachelY + 1 2679 -2.39416051 1.33050180 -137.175293 76.232138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33059305-1.33050180) × R
    9.12500000000982e-05 × 6371000     		dl = 581.353750000626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33059305-1.33050180) × R
    9.12500000000982e-05 × 6371000     		dr = 581.353750000626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39454401--2.39416051) × cos(1.33059305) × R
    0.000383500000000314 × 0.237900071984955 × 6371000     		do = 581.256131029769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39454401--2.39416051) × cos(1.33050180) × R
    0.000383500000000314 × 0.237988701173613 × 6371000     		du = 581.47267682089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33059305)-sin(1.33050180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237900071984955-0.237988701173613)×R²
    abs(-2.39416051--2.39454401)×8.86291886584012e-05×R²
    0.000383500000000314×8.86291886584012e-05×6371000²
    0.000383500000000314×8.86291886584012e-05×40589641000000     		ar = 337978.376573817m²