Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19479 / 31737
↖ ↑ ↗
← N 67.616543°
W126.499329°		 ← 116.31 m → N 67.616543°
W126.496582°		 →
↑
116.33 m
↓
↑
116.33 m
↓
N 67.615497°
W126.499329°		 ← 116.31 m →
13 531 m²		 N 67.615497°
W126.496582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.148616790771484 y=0.242137908935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.148616790771484 × 217)
    floor (0.148616790771484 × 131072)
    floor (19479.5)     		tx = 19479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242137908935547 × 217)
    floor (0.242137908935547 × 131072)
    floor (31737.5)     		ty = 31737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19479 / 31737 ti = "17/19479/31737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19479/31737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19479 ÷ 217
    19479 ÷ 131072     		x = 0.148612976074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31737 ÷ 217
    31737 ÷ 131072     		y = 0.242134094238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.148612976074219 × 2 - 1) × π
    -0.702774047851562 × 3.1415926535     		Λ = -2.20782979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242134094238281 × 2 - 1) × π
    0.515731811523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.62021927025828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20782979} λ = -2.20782979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62021927025828))-π/2
    2×atan(5.05419843046645)-π/2
    2×1.37546381630606-π/2
    2.75092763261212-1.57079632675     		φ = 1.18013131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20782979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.499329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18013131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.616543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19479 KachelY 31737 -2.20782979 1.18013131 -126.499329 67.616543
    Oben rechts KachelX + 1 19480 KachelY 31737 -2.20778185 1.18013131 -126.496582 67.616543
    Unten links KachelX 19479 KachelY + 1 31738 -2.20782979 1.18011305 -126.499329 67.615497
    Unten rechts KachelX + 1 19480 KachelY + 1 31738 -2.20778185 1.18011305 -126.496582 67.615497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18013131-1.18011305) × R
    1.82599999998256e-05 × 6371000     		dl = 116.334459998889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18013131-1.18011305) × R
    1.82599999998256e-05 × 6371000     		dr = 116.334459998889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20782979--2.20778185) × cos(1.18013131) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380803411067728 × 6371000     		do = 116.307163619809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20782979--2.20778185) × cos(1.18011305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380820295223234 × 6371000     		du = 116.312320475499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18013131)-sin(1.18011305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380803411067728-0.380820295223234)×R²
    abs(-2.20778185--2.20782979)×1.68841555060473e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68841555060473e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68841555060473e-05×40589641000000     		ar = 13530.8310341482m²