Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19479 / 21175
↖ ↑ ↗
← S 46.490829°
E 34.002686°		 ← 841.02 m → S 46.490829°
E 34.013672°		 →
↑
840.97 m
↓
↑
840.97 m
↓
S 46.498392°
E 34.002686°		 ← 840.90 m →
707 224 m²		 S 46.498392°
E 34.013672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594467163085938 y=0.646224975585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594467163085938 × 215)
    floor (0.594467163085938 × 32768)
    floor (19479.5)     		tx = 19479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646224975585938 × 215)
    floor (0.646224975585938 × 32768)
    floor (21175.5)     		ty = 21175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19479 / 21175 ti = "15/19479/21175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19479/21175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19479 ÷ 215
    19479 ÷ 32768     		x = 0.594451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21175 ÷ 215
    21175 ÷ 32768     		y = 0.646209716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594451904296875 × 2 - 1) × π
    0.18890380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59345882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646209716796875 × 2 - 1) × π
    -0.29241943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.918662744318756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59345882} λ = 0.59345882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.918662744318756))-π/2
    2×atan(0.399052319421562)-π/2
    2×0.379689144217744-π/2
    0.759378288435489-1.57079632675     		φ = -0.81141804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59345882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.002686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81141804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.490829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19479 KachelY 21175 0.59345882 -0.81141804 34.002686 -46.490829
    Oben rechts KachelX + 1 19480 KachelY 21175 0.59365056 -0.81141804 34.013672 -46.490829
    Unten links KachelX 19479 KachelY + 1 21176 0.59345882 -0.81155004 34.002686 -46.498392
    Unten rechts KachelX + 1 19480 KachelY + 1 21176 0.59365056 -0.81155004 34.013672 -46.498392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81141804--0.81155004) × R
    0.000132000000000021 × 6371000     		dl = 840.972000000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81141804--0.81155004) × R
    0.000132000000000021 × 6371000     		dr = 840.972000000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59345882-0.59365056) × cos(-0.81141804) × R
    0.000191739999999996 × 0.688470671876698 × 6371000     		do = 841.018932771922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59345882-0.59365056) × cos(-0.81155004) × R
    0.000191739999999996 × 0.688374931006971 × 6371000     		du = 840.901978067285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81141804)-sin(-0.81155004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688470671876698-0.688374931006971)×R²
    abs(0.59365056-0.59345882)×9.5740869727412e-05×R²
    0.000191739999999996×9.5740869727412e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.5740869727412e-05×40589641000000     		ar = 707224.197142182m²