Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19472 / 14351
↖ ↑ ↗
← N 21.790107°
E 33.925781°		 ← 1 134.35 m → N 21.790107°
E 33.936767°		 →
↑
1 134.36 m
↓
↑
1 134.36 m
↓
N 21.779905°
E 33.925781°		 ← 1 134.43 m →
1 286 807 m²		 N 21.779905°
E 33.936767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594253540039062 y=0.437973022460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594253540039062 × 215)
    floor (0.594253540039062 × 32768)
    floor (19472.5)     		tx = 19472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437973022460938 × 215)
    floor (0.437973022460938 × 32768)
    floor (14351.5)     		ty = 14351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19472 / 14351 ti = "15/19472/14351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19472/14351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19472 ÷ 215
    19472 ÷ 32768     		x = 0.59423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14351 ÷ 215
    14351 ÷ 32768     		y = 0.437957763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59423828125 × 2 - 1) × π
    0.1884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59211658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437957763671875 × 2 - 1) × π
    0.12408447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.389822867710297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59211658} λ = 0.59211658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389822867710297))-π/2
    2×atan(1.47671919606217)-π/2
    2×0.975552719670129-π/2
    1.95110543934026-1.57079632675     		φ = 0.38030911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59211658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38030911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.790107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19472 KachelY 14351 0.59211658 0.38030911 33.925781 21.790107
    Oben rechts KachelX + 1 19473 KachelY 14351 0.59230833 0.38030911 33.936767 21.790107
    Unten links KachelX 19472 KachelY + 1 14352 0.59211658 0.38013106 33.925781 21.779905
    Unten rechts KachelX + 1 19473 KachelY + 1 14352 0.59230833 0.38013106 33.936767 21.779905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38030911-0.38013106) × R
    0.000178049999999985 × 6371000     		dl = 1134.35654999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38030911-0.38013106) × R
    0.000178049999999985 × 6371000     		dr = 1134.35654999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59211658-0.59230833) × cos(0.38030911) × R
    0.000191750000000046 × 0.928549935985551 × 6371000     		do = 1134.35304738521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59211658-0.59230833) × cos(0.38013106) × R
    0.000191750000000046 × 0.92861601476422 × 6371000     		du = 1134.43377181482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38030911)-sin(0.38013106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928549935985551-0.92861601476422)×R²
    abs(0.59230833-0.59211658)×6.60787786690431e-05×R²
    0.000191750000000046×6.60787786690431e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.60787786690431e-05×40589641000000     		ar = 1286806.5978557m²