Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19470 / 14371
↖ ↑ ↗
← N 21.585935°
E 33.903809°		 ← 1 135.96 m → N 21.585935°
E 33.914795°		 →
↑
1 136.01 m
↓
↑
1 136.01 m
↓
N 21.575719°
E 33.903809°		 ← 1 136.04 m →
1 290 513 m²		 N 21.575719°
E 33.914795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594192504882812 y=0.438583374023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594192504882812 × 215)
    floor (0.594192504882812 × 32768)
    floor (19470.5)     		tx = 19470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438583374023438 × 215)
    floor (0.438583374023438 × 32768)
    floor (14371.5)     		ty = 14371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19470 / 14371 ti = "15/19470/14371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19470/14371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19470 ÷ 215
    19470 ÷ 32768     		x = 0.59417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14371 ÷ 215
    14371 ÷ 32768     		y = 0.438568115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59417724609375 × 2 - 1) × π
    0.1883544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59173309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438568115234375 × 2 - 1) × π
    0.12286376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.385987915740692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59173309} λ = 0.59173309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385987915740692))-π/2
    2×atan(1.47106689395353)-π/2
    2×0.973770983329779-π/2
    1.94754196665956-1.57079632675     		φ = 0.37674564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59173309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.903809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37674564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.585935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19470 KachelY 14371 0.59173309 0.37674564 33.903809 21.585935
    Oben rechts KachelX + 1 19471 KachelY 14371 0.59192484 0.37674564 33.914795 21.585935
    Unten links KachelX 19470 KachelY + 1 14372 0.59173309 0.37656733 33.903809 21.575719
    Unten rechts KachelX + 1 19471 KachelY + 1 14372 0.59192484 0.37656733 33.914795 21.575719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37674564-0.37656733) × R
    0.000178310000000015 × 6371000     		dl = 1136.01301000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37674564-0.37656733) × R
    0.000178310000000015 × 6371000     		dr = 1136.01301000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59173309-0.59192484) × cos(0.37674564) × R
    0.000191750000000046 × 0.929866824510859 × 6371000     		do = 1135.9618100956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59173309-0.59192484) × cos(0.37656733) × R
    0.000191750000000046 × 0.929932409317731 × 6371000     		du = 1136.04193106988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37674564)-sin(0.37656733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929866824510859-0.929932409317731)×R²
    abs(0.59192484-0.59173309)×6.55848068720211e-05×R²
    0.000191750000000046×6.55848068720211e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.55848068720211e-05×40589641000000     		ar = 1290512.90778582m²