Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19470 / 14238
↖ ↑ ↗
← N 22.938160°
E 33.903809°		 ← 1 125.04 m → N 22.938160°
E 33.914795°		 →
↑
1 125.05 m
↓
↑
1 125.05 m
↓
N 22.928042°
E 33.903809°		 ← 1 125.12 m →
1 265 778 m²		 N 22.928042°
E 33.914795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594192504882812 y=0.434524536132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594192504882812 × 215)
    floor (0.594192504882812 × 32768)
    floor (19470.5)     		tx = 19470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434524536132812 × 215)
    floor (0.434524536132812 × 32768)
    floor (14238.5)     		ty = 14238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19470 / 14238 ti = "15/19470/14238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19470/14238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19470 ÷ 215
    19470 ÷ 32768     		x = 0.59417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14238 ÷ 215
    14238 ÷ 32768     		y = 0.43450927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59417724609375 × 2 - 1) × π
    0.1883544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59173309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43450927734375 × 2 - 1) × π
    0.1309814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.411490346338562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59173309} λ = 0.59173309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.411490346338562))-π/2
    2×atan(1.50906513973417)-π/2
    2×0.985571368419106-π/2
    1.97114273683821-1.57079632675     		φ = 0.40034641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59173309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.903809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40034641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.938160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19470 KachelY 14238 0.59173309 0.40034641 33.903809 22.938160
    Oben rechts KachelX + 1 19471 KachelY 14238 0.59192484 0.40034641 33.914795 22.938160
    Unten links KachelX 19470 KachelY + 1 14239 0.59173309 0.40016982 33.903809 22.928042
    Unten rechts KachelX + 1 19471 KachelY + 1 14239 0.59192484 0.40016982 33.914795 22.928042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40034641-0.40016982) × R
    0.000176589999999976 × 6371000     		dl = 1125.05488999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40034641-0.40016982) × R
    0.000176589999999976 × 6371000     		dr = 1125.05488999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59173309-0.59192484) × cos(0.40034641) × R
    0.000191750000000046 × 0.920926040334016 × 6371000     		do = 1125.03939721939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59173309-0.59192484) × cos(0.40016982) × R
    0.000191750000000046 × 0.92099484969915 × 6371000     		du = 1125.1234574406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40034641)-sin(0.40016982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920926040334016-0.92099484969915)×R²
    abs(0.59192484-0.59173309)×6.88093651338706e-05×R²
    0.000191750000000046×6.88093651338706e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.88093651338706e-05×40589641000000     		ar = 1265778.36475502m²