Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1947 / 2377
↖ ↑ ↗
← S 27.761330°
W  8.876953°		 ← 8 648.07 m → S 27.761330°
W  8.789063°		 →
↑
8 645 m
↓
↑
8 645 m
↓
S 27.839076°
W  8.876953°		 ← 8 641.89 m →
74 735 871 m²		 S 27.839076°
W  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4754638671875 y=0.5804443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4754638671875 × 212)
    floor (0.4754638671875 × 4096)
    floor (1947.5)     		tx = 1947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5804443359375 × 212)
    floor (0.5804443359375 × 4096)
    floor (2377.5)     		ty = 2377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1947 / 2377 ti = "12/1947/2377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1947/2377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1947 ÷ 212
    1947 ÷ 4096     		x = 0.475341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2377 ÷ 212
    2377 ÷ 4096     		y = 0.580322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475341796875 × 2 - 1) × π
    -0.04931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15493206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580322265625 × 2 - 1) × π
    -0.16064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.504679679199951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15493206} λ = -0.15493206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.504679679199951))-π/2
    2×atan(0.603698921780571)-π/2
    2×0.54313485788264-π/2
    1.08626971576528-1.57079632675     		φ = -0.48452661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15493206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.876953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48452661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.761330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1947 KachelY 2377 -0.15493206 -0.48452661 -8.876953 -27.761330
    Oben rechts KachelX + 1 1948 KachelY 2377 -0.15339808 -0.48452661 -8.789063 -27.761330
    Unten links KachelX 1947 KachelY + 1 2378 -0.15493206 -0.48588354 -8.876953 -27.839076
    Unten rechts KachelX + 1 1948 KachelY + 1 2378 -0.15339808 -0.48588354 -8.789063 -27.839076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48452661--0.48588354) × R
    0.00135692999999998 × 6371000     		dl = 8645.00102999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48452661--0.48588354) × R
    0.00135692999999998 × 6371000     		dr = 8645.00102999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15493206--0.15339808) × cos(-0.48452661) × R
    0.00153398000000002 × 0.884895548348582 × 6371000     		do = 8648.07231871254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15493206--0.15339808) × cos(-0.48588354) × R
    0.00153398000000002 × 0.884262690120614 × 6371000     		du = 8641.88740374356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48452661)-sin(-0.48588354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884895548348582-0.884262690120614)×R²
    abs(-0.15339808--0.15493206)×0.00063285822796888×R²
    0.00153398000000002×0.00063285822796888×6371000²
    0.00153398000000002×0.00063285822796888×40589641000000     		ar = 74735871.2719872m²