Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1947 / 1210
↖ ↑ ↗
← N 59.085739°
W  8.876953°		 ← 5 020.92 m → N 59.085739°
W  8.789063°		 →
↑
5 024.23 m
↓
↑
5 024.23 m
↓
N 59.040555°
W  8.876953°		 ← 5 027.53 m →
25 242 881 m²		 N 59.040555°
W  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4754638671875 y=0.2955322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4754638671875 × 212)
    floor (0.4754638671875 × 4096)
    floor (1947.5)     		tx = 1947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2955322265625 × 212)
    floor (0.2955322265625 × 4096)
    floor (1210.5)     		ty = 1210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1947 / 1210 ti = "12/1947/1210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1947/1210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1947 ÷ 212
    1947 ÷ 4096     		x = 0.475341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1210 ÷ 212
    1210 ÷ 4096     		y = 0.29541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475341796875 × 2 - 1) × π
    -0.04931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15493206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29541015625 × 2 - 1) × π
    0.4091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28547590021143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15493206} λ = -0.15493206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28547590021143))-π/2
    2×atan(3.61638858785429)-π/2
    2×1.30101850289599-π/2
    2.60203700579198-1.57079632675     		φ = 1.03124068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15493206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.876953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03124068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.085739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1947 KachelY 1210 -0.15493206 1.03124068 -8.876953 59.085739
    Oben rechts KachelX + 1 1948 KachelY 1210 -0.15339808 1.03124068 -8.789063 59.085739
    Unten links KachelX 1947 KachelY + 1 1211 -0.15493206 1.03045207 -8.876953 59.040555
    Unten rechts KachelX + 1 1948 KachelY + 1 1211 -0.15339808 1.03045207 -8.789063 59.040555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03124068-1.03045207) × R
    0.000788610000000078 × 6371000     		dl = 5024.2343100005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03124068-1.03045207) × R
    0.000788610000000078 × 6371000     		dr = 5024.2343100005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15493206--0.15339808) × cos(1.03124068) × R
    0.00153398000000002 × 0.51375481530603 × 6371000     		do = 5020.91891539627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15493206--0.15339808) × cos(1.03045207) × R
    0.00153398000000002 × 0.51443123322305 × 6371000     		du = 5027.52953862177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03124068)-sin(1.03045207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51375481530603-0.51443123322305)×R²
    abs(-0.15339808--0.15493206)×0.000676417917019556×R²
    0.00153398000000002×0.000676417917019556×6371000²
    0.00153398000000002×0.000676417917019556×40589641000000     		ar = 25242881.0506977m²