Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19469 / 14363
↖ ↑ ↗
← N 21.667638°
E 33.892822°		 ← 1 135.32 m → N 21.667638°
E 33.903809°		 →
↑
1 135.31 m
↓
↑
1 135.31 m
↓
N 21.657428°
E 33.892822°		 ← 1 135.40 m →
1 288 988 m²		 N 21.657428°
E 33.903809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594161987304688 y=0.438339233398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594161987304688 × 215)
    floor (0.594161987304688 × 32768)
    floor (19469.5)     		tx = 19469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438339233398438 × 215)
    floor (0.438339233398438 × 32768)
    floor (14363.5)     		ty = 14363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19469 / 14363 ti = "15/19469/14363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19469/14363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19469 ÷ 215
    19469 ÷ 32768     		x = 0.594146728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14363 ÷ 215
    14363 ÷ 32768     		y = 0.438323974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594146728515625 × 2 - 1) × π
    0.18829345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59154134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438323974609375 × 2 - 1) × π
    0.12335205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.387521896528534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59154134} λ = 0.59154134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387521896528534))-π/2
    2×atan(1.47332521397341)-π/2
    2×0.974483980802589-π/2
    1.94896796160518-1.57079632675     		φ = 0.37817163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59154134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.892822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37817163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.667638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19469 KachelY 14363 0.59154134 0.37817163 33.892822 21.667638
    Oben rechts KachelX + 1 19470 KachelY 14363 0.59173309 0.37817163 33.903809 21.667638
    Unten links KachelX 19469 KachelY + 1 14364 0.59154134 0.37799343 33.892822 21.657428
    Unten rechts KachelX + 1 19470 KachelY + 1 14364 0.59173309 0.37799343 33.903809 21.657428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37817163-0.37799343) × R
    0.000178199999999962 × 6371000     		dl = 1135.31219999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37817163-0.37799343) × R
    0.000178199999999962 × 6371000     		dr = 1135.31219999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59154134-0.59173309) × cos(0.37817163) × R
    0.000191749999999935 × 0.929341262824132 × 6371000     		do = 1135.31976331014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59154134-0.59173309) × cos(0.37799343) × R
    0.000191749999999935 × 0.92940704341203 × 6371000     		du = 1135.4001234582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37817163)-sin(0.37799343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929341262824132-0.92940704341203)×R²
    abs(0.59173309-0.59154134)×6.57805878974127e-05×R²
    0.000191749999999935×6.57805878974127e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.57805878974127e-05×40589641000000     		ar = 1288987.99852636m²