Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19468 / 14364
↖ ↑ ↗
← N 21.657428°
E 33.881836°		 ← 1 135.40 m → N 21.657428°
E 33.892822°		 →
↑
1 135.44 m
↓
↑
1 135.44 m
↓
N 21.647217°
E 33.881836°		 ← 1 135.48 m →
1 289 224 m²		 N 21.647217°
E 33.892822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594131469726562 y=0.438369750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594131469726562 × 215)
    floor (0.594131469726562 × 32768)
    floor (19468.5)     		tx = 19468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438369750976562 × 215)
    floor (0.438369750976562 × 32768)
    floor (14364.5)     		ty = 14364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19468 / 14364 ti = "15/19468/14364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19468/14364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19468 ÷ 215
    19468 ÷ 32768     		x = 0.5941162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14364 ÷ 215
    14364 ÷ 32768     		y = 0.4383544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5941162109375 × 2 - 1) × π
    0.188232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59134959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4383544921875 × 2 - 1) × π
    0.123291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.387330148930054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59134959} λ = 0.59134959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387330148930054))-π/2
    2×atan(1.47304273448509)-π/2
    2×0.974394878171493-π/2
    1.94878975634299-1.57079632675     		φ = 0.37799343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59134959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.881836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37799343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.657428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19468 KachelY 14364 0.59134959 0.37799343 33.881836 21.657428
    Oben rechts KachelX + 1 19469 KachelY 14364 0.59154134 0.37799343 33.892822 21.657428
    Unten links KachelX 19468 KachelY + 1 14365 0.59134959 0.37781521 33.881836 21.647217
    Unten rechts KachelX + 1 19469 KachelY + 1 14365 0.59154134 0.37781521 33.892822 21.647217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37799343-0.37781521) × R
    0.000178220000000007 × 6371000     		dl = 1135.43962000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37799343-0.37781521) × R
    0.000178220000000007 × 6371000     		dr = 1135.43962000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59134959-0.59154134) × cos(0.37799343) × R
    0.000191750000000046 × 0.92940704341203 × 6371000     		do = 1135.40012345886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59134959-0.59154134) × cos(0.37781521) × R
    0.000191750000000046 × 0.929472801864197 × 6371000     		du = 1135.48045656505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37799343)-sin(0.37781521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92940704341203-0.929472801864197)×R²
    abs(0.59154134-0.59134959)×6.57584521670529e-05×R²
    0.000191750000000046×6.57584521670529e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.57584521670529e-05×40589641000000     		ar = 1289223.89483617m²