Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19467 / 14257
↖ ↑ ↗
← N 22.745789°
E 33.870850°		 ← 1 126.57 m → N 22.745789°
E 33.881836°		 →
↑
1 126.65 m
↓
↑
1 126.65 m
↓
N 22.735657°
E 33.870850°		 ← 1 126.66 m →
1 269 298 m²		 N 22.735657°
E 33.881836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594100952148438 y=0.435104370117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594100952148438 × 215)
    floor (0.594100952148438 × 32768)
    floor (19467.5)     		tx = 19467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435104370117188 × 215)
    floor (0.435104370117188 × 32768)
    floor (14257.5)     		ty = 14257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19467 / 14257 ti = "15/19467/14257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19467/14257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19467 ÷ 215
    19467 ÷ 32768     		x = 0.594085693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14257 ÷ 215
    14257 ÷ 32768     		y = 0.435089111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594085693359375 × 2 - 1) × π
    0.18817138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59115785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435089111328125 × 2 - 1) × π
    0.12982177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.407847141967438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59115785} λ = 0.59115785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.407847141967438))-π/2
    2×atan(1.50357730973387)-π/2
    2×0.983892619141928-π/2
    1.96778523828386-1.57079632675     		φ = 0.39698891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59115785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.870850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39698891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.745789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19467 KachelY 14257 0.59115785 0.39698891 33.870850 22.745789
    Oben rechts KachelX + 1 19468 KachelY 14257 0.59134959 0.39698891 33.881836 22.745789
    Unten links KachelX 19467 KachelY + 1 14258 0.59115785 0.39681207 33.870850 22.735657
    Unten rechts KachelX + 1 19468 KachelY + 1 14258 0.59134959 0.39681207 33.881836 22.735657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39698891-0.39681207) × R
    0.000176839999999956 × 6371000     		dl = 1126.64763999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39698891-0.39681207) × R
    0.000176839999999956 × 6371000     		dr = 1126.64763999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59115785-0.59134959) × cos(0.39698891) × R
    0.000191739999999996 × 0.922229390435682 × 6371000     		do = 1126.57286562531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59115785-0.59134959) × cos(0.39681207) × R
    0.000191739999999996 × 0.922297749995756 × 6371000     		du = 1126.65637199183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39698891)-sin(0.39681207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922229390435682-0.922297749995756)×R²
    abs(0.59134959-0.59115785)×6.83595600731168e-05×R²
    0.000191739999999996×6.83595600731168e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.83595600731168e-05×40589641000000     		ar = 1269297.70477759m²