Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19467 / 14230
↖ ↑ ↗
← N 23.019076°
E 33.870850°		 ← 1 124.31 m → N 23.019076°
E 33.881836°		 →
↑
1 124.42 m
↓
↑
1 124.42 m
↓
N 23.008964°
E 33.870850°		 ← 1 124.39 m →
1 264 238 m²		 N 23.008964°
E 33.881836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594100952148438 y=0.434280395507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594100952148438 × 215)
    floor (0.594100952148438 × 32768)
    floor (19467.5)     		tx = 19467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434280395507812 × 215)
    floor (0.434280395507812 × 32768)
    floor (14230.5)     		ty = 14230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19467 / 14230 ti = "15/19467/14230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19467/14230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19467 ÷ 215
    19467 ÷ 32768     		x = 0.594085693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14230 ÷ 215
    14230 ÷ 32768     		y = 0.43426513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594085693359375 × 2 - 1) × π
    0.18817138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59115785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43426513671875 × 2 - 1) × π
    0.1314697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.413024327126404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59115785} λ = 0.59115785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.413024327126404))-π/2
    2×atan(1.5113817930627)-π/2
    2×0.986277498509859-π/2
    1.97255499701972-1.57079632675     		φ = 0.40175867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59115785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.870850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40175867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.019076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19467 KachelY 14230 0.59115785 0.40175867 33.870850 23.019076
    Oben rechts KachelX + 1 19468 KachelY 14230 0.59134959 0.40175867 33.881836 23.019076
    Unten links KachelX 19467 KachelY + 1 14231 0.59115785 0.40158218 33.870850 23.008964
    Unten rechts KachelX + 1 19468 KachelY + 1 14231 0.59134959 0.40158218 33.881836 23.008964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40175867-0.40158218) × R
    0.000176489999999974 × 6371000     		dl = 1124.41778999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40175867-0.40158218) × R
    0.000176489999999974 × 6371000     		dr = 1124.41778999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59115785-0.59134959) × cos(0.40175867) × R
    0.000191739999999996 × 0.920374711616157 × 6371000     		do = 1124.30723534483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59115785-0.59134959) × cos(0.40158218) × R
    0.000191739999999996 × 0.920443711504327 × 6371000     		du = 1124.39152392048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40175867)-sin(0.40158218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920374711616157-0.920443711504327)×R²
    abs(0.59134959-0.59115785)×6.8999888169774e-05×R²
    0.000191739999999996×6.8999888169774e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.8999888169774e-05×40589641000000     		ar = 1264238.44791576m²