Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19466 / 14362
↖ ↑ ↗
← N 21.677848°
E 33.859863°		 ← 1 135.24 m → N 21.677848°
E 33.870850°		 →
↑
1 135.31 m
↓
↑
1 135.31 m
↓
N 21.667638°
E 33.859863°		 ← 1 135.32 m →
1 288 897 m²		 N 21.667638°
E 33.870850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594070434570312 y=0.438308715820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594070434570312 × 215)
    floor (0.594070434570312 × 32768)
    floor (19466.5)     		tx = 19466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438308715820312 × 215)
    floor (0.438308715820312 × 32768)
    floor (14362.5)     		ty = 14362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19466 / 14362 ti = "15/19466/14362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19466/14362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19466 ÷ 215
    19466 ÷ 32768     		x = 0.59405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14362 ÷ 215
    14362 ÷ 32768     		y = 0.43829345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59405517578125 × 2 - 1) × π
    0.1881103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59096610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43829345703125 × 2 - 1) × π
    0.1234130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.387713644127014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59096610} λ = 0.59096610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387713644127014))-π/2
    2×atan(1.47360774763168)-π/2
    2×0.974573077125673-π/2
    1.94914615425135-1.57079632675     		φ = 0.37834983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59096610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.859863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37834983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.677848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19466 KachelY 14362 0.59096610 0.37834983 33.859863 21.677848
    Oben rechts KachelX + 1 19467 KachelY 14362 0.59115785 0.37834983 33.870850 21.677848
    Unten links KachelX 19466 KachelY + 1 14363 0.59096610 0.37817163 33.859863 21.667638
    Unten rechts KachelX + 1 19467 KachelY + 1 14363 0.59115785 0.37817163 33.870850 21.667638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37834983-0.37817163) × R
    0.000178200000000017 × 6371000     		dl = 1135.31220000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37834983-0.37817163) × R
    0.000178200000000017 × 6371000     		dr = 1135.31220000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59096610-0.59115785) × cos(0.37834983) × R
    0.000191749999999935 × 0.92927545272478 × 6371000     		do = 1135.23936710973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59096610-0.59115785) × cos(0.37817163) × R
    0.000191749999999935 × 0.929341262824132 × 6371000     		du = 1135.31976331014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37834983)-sin(0.37817163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92927545272478-0.929341262824132)×R²
    abs(0.59115785-0.59096610)×6.58100993522481e-05×R²
    0.000191749999999935×6.58100993522481e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.58100993522481e-05×40589641000000     		ar = 1288896.74420403m²