Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19464 / 14231
↖ ↑ ↗
← N 23.008964°
E 33.837890°		 ← 1 124.45 m → N 23.008964°
E 33.848877°		 →
↑
1 124.48 m
↓
↑
1 124.48 m
↓
N 22.998851°
E 33.837890°		 ← 1 124.53 m →
1 264 471 m²		 N 22.998851°
E 33.848877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594009399414062 y=0.434310913085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594009399414062 × 215)
    floor (0.594009399414062 × 32768)
    floor (19464.5)     		tx = 19464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434310913085938 × 215)
    floor (0.434310913085938 × 32768)
    floor (14231.5)     		ty = 14231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19464 / 14231 ti = "15/19464/14231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19464/14231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19464 ÷ 215
    19464 ÷ 32768     		x = 0.593994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14231 ÷ 215
    14231 ÷ 32768     		y = 0.434295654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593994140625 × 2 - 1) × π
    0.18798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59058260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434295654296875 × 2 - 1) × π
    0.13140869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.412832579527924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59058260} λ = 0.59058260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.412832579527924))-π/2
    2×atan(1.51109201701631)-π/2
    2×0.986189255381782-π/2
    1.97237851076356-1.57079632675     		φ = 0.40158218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59058260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.837890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40158218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.008964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19464 KachelY 14231 0.59058260 0.40158218 33.837890 23.008964
    Oben rechts KachelX + 1 19465 KachelY 14231 0.59077435 0.40158218 33.848877 23.008964
    Unten links KachelX 19464 KachelY + 1 14232 0.59058260 0.40140568 33.837890 22.998851
    Unten rechts KachelX + 1 19465 KachelY + 1 14232 0.59077435 0.40140568 33.848877 22.998851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40158218-0.40140568) × R
    0.000176500000000024 × 6371000     		dl = 1124.48150000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40158218-0.40140568) × R
    0.000176500000000024 × 6371000     		dr = 1124.48150000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59058260-0.59077435) × cos(0.40158218) × R
    0.000191750000000046 × 0.920443711504327 × 6371000     		do = 1124.45016538963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59058260-0.59077435) × cos(0.40140568) × R
    0.000191750000000046 × 0.92051268662898 × 6371000     		du = 1124.53442810918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40158218)-sin(0.40140568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920443711504327-0.92051268662898)×R²
    abs(0.59077435-0.59058260)×6.89751246532033e-05×R²
    0.000191750000000046×6.89751246532033e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.89751246532033e-05×40589641000000     		ar = 1264470.78786974m²