Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19463 / 14331
↖ ↑ ↗
← N 21.993989°
E 33.826905°		 ← 1 132.67 m → N 21.993989°
E 33.837890°		 →
↑
1 132.76 m
↓
↑
1 132.76 m
↓
N 21.983802°
E 33.826905°		 ← 1 132.75 m →
1 283 097 m²		 N 21.983802°
E 33.837890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593978881835938 y=0.437362670898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593978881835938 × 215)
    floor (0.593978881835938 × 32768)
    floor (19463.5)     		tx = 19463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437362670898438 × 215)
    floor (0.437362670898438 × 32768)
    floor (14331.5)     		ty = 14331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19463 / 14331 ti = "15/19463/14331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19463/14331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19463 ÷ 215
    19463 ÷ 32768     		x = 0.593963623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14331 ÷ 215
    14331 ÷ 32768     		y = 0.437347412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593963623046875 × 2 - 1) × π
    0.18792724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59039086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437347412109375 × 2 - 1) × π
    0.12530517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.393657819679901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59039086} λ = 0.59039086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.393657819679901))-π/2
    2×atan(1.4823932160949)-π/2
    2×0.977331921409122-π/2
    1.95466384281824-1.57079632675     		φ = 0.38386752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59039086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.826905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38386752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.993989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19463 KachelY 14331 0.59039086 0.38386752 33.826905 21.993989
    Oben rechts KachelX + 1 19464 KachelY 14331 0.59058260 0.38386752 33.837890 21.993989
    Unten links KachelX 19463 KachelY + 1 14332 0.59039086 0.38368972 33.826905 21.983802
    Unten rechts KachelX + 1 19464 KachelY + 1 14332 0.59058260 0.38368972 33.837890 21.983802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38386752-0.38368972) × R
    0.000177800000000006 × 6371000     		dl = 1132.76380000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38386752-0.38368972) × R
    0.000177800000000006 × 6371000     		dr = 1132.76380000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59039086-0.59058260) × cos(0.38386752) × R
    0.000191739999999996 × 0.927223151478951 × 6371000     		do = 1132.67312196838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59039086-0.59058260) × cos(0.38368972) × R
    0.000191739999999996 × 0.927289724578809 × 6371000     		du = 1132.75444603879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38386752)-sin(0.38368972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927223151478951-0.927289724578809)×R²
    abs(0.59058260-0.59039086)×6.6573099858247e-05×R²
    0.000191739999999996×6.6573099858247e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.6573099858247e-05×40589641000000     		ar = 1283097.17366043m²