Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19462 / 14281
↖ ↑ ↗
← N 22.502407°
E 33.815918°		 ← 1 128.63 m → N 22.502407°
E 33.826905°		 →
↑
1 128.69 m
↓
↑
1 128.69 m
↓
N 22.492257°
E 33.815918°		 ← 1 128.71 m →
1 273 914 m²		 N 22.492257°
E 33.826905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593948364257812 y=0.435836791992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593948364257812 × 215)
    floor (0.593948364257812 × 32768)
    floor (19462.5)     		tx = 19462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435836791992188 × 215)
    floor (0.435836791992188 × 32768)
    floor (14281.5)     		ty = 14281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19462 / 14281 ti = "15/19462/14281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19462/14281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19462 ÷ 215
    19462 ÷ 32768     		x = 0.59393310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14281 ÷ 215
    14281 ÷ 32768     		y = 0.435821533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59393310546875 × 2 - 1) × π
    0.1878662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59019911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435821533203125 × 2 - 1) × π
    0.12835693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.403245199603912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59019911} λ = 0.59019911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.403245199603912))-π/2
    2×atan(1.49667383050554)-π/2
    2×0.981768713288908-π/2
    1.96353742657782-1.57079632675     		φ = 0.39274110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59019911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.815918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39274110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.502407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19462 KachelY 14281 0.59019911 0.39274110 33.815918 22.502407
    Oben rechts KachelX + 1 19463 KachelY 14281 0.59039086 0.39274110 33.826905 22.502407
    Unten links KachelX 19462 KachelY + 1 14282 0.59019911 0.39256394 33.815918 22.492257
    Unten rechts KachelX + 1 19463 KachelY + 1 14282 0.59039086 0.39256394 33.826905 22.492257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39274110-0.39256394) × R
    0.00017716000000001 × 6371000     		dl = 1128.68636000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39274110-0.39256394) × R
    0.00017716000000001 × 6371000     		dr = 1128.68636000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59019911-0.59039086) × cos(0.39274110) × R
    0.000191749999999935 × 0.923863451987965 × 6371000     		do = 1128.62785458861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59019911-0.59039086) × cos(0.39256394) × R
    0.000191749999999935 × 0.923931240563718 × 6371000     		du = 1128.71066777345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39274110)-sin(0.39256394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923863451987965-0.923931240563718)×R²
    abs(0.59039086-0.59019911)×6.77885757529584e-05×R²
    0.000191749999999935×6.77885757529584e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.77885757529584e-05×40589641000000     		ar = 1273913.60337812m²