Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19461 / 14339
↖ ↑ ↗
← N 21.912471°
E 33.804932°		 ← 1 133.38 m → N 21.912471°
E 33.815918°		 →
↑
1 133.46 m
↓
↑
1 133.46 m
↓
N 21.902278°
E 33.804932°		 ← 1 133.46 m →
1 284 694 m²		 N 21.902278°
E 33.815918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593917846679688 y=0.437606811523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593917846679688 × 215)
    floor (0.593917846679688 × 32768)
    floor (19461.5)     		tx = 19461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437606811523438 × 215)
    floor (0.437606811523438 × 32768)
    floor (14339.5)     		ty = 14339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19461 / 14339 ti = "15/19461/14339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19461/14339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19461 ÷ 215
    19461 ÷ 32768     		x = 0.593902587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14339 ÷ 215
    14339 ÷ 32768     		y = 0.437591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593902587890625 × 2 - 1) × π
    0.18780517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59000736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437591552734375 × 2 - 1) × π
    0.12481689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.392123838892059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59000736} λ = 0.59000736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.392123838892059))-π/2
    2×atan(1.48012099659747)-π/2
    2×0.976620546078194-π/2
    1.95324109215639-1.57079632675     		φ = 0.38244477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59000736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.804932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38244477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.912471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19461 KachelY 14339 0.59000736 0.38244477 33.804932 21.912471
    Oben rechts KachelX + 1 19462 KachelY 14339 0.59019911 0.38244477 33.815918 21.912471
    Unten links KachelX 19461 KachelY + 1 14340 0.59000736 0.38226686 33.804932 21.902278
    Unten rechts KachelX + 1 19462 KachelY + 1 14340 0.59019911 0.38226686 33.815918 21.902278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38244477-0.38226686) × R
    0.000177910000000003 × 6371000     		dl = 1133.46461000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38244477-0.38226686) × R
    0.000177910000000003 × 6371000     		dr = 1133.46461000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59000736-0.59019911) × cos(0.38244477) × R
    0.000191750000000046 × 0.927755045977215 × 6371000     		do = 1133.38197855159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59000736-0.59019911) × cos(0.38226686) × R
    0.000191750000000046 × 0.927821425479114 × 6371000     		du = 1133.46307035651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38244477)-sin(0.38226686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927755045977215-0.927821425479114)×R²
    abs(0.59019911-0.59000736)×6.63795018981395e-05×R²
    0.000191750000000046×6.63795018981395e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.63795018981395e-05×40589641000000     		ar = 1284694.32303392m²