Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1946 / 2675
↖ ↑ ↗
← N 76.253039°
W137.241211°		 ← 580.59 m → N 76.253039°
W137.219239°		 →
↑
580.72 m
↓
↑
580.72 m
↓
N 76.247817°
W137.241211°		 ← 580.81 m →
337 222 m²		 N 76.247817°
W137.219239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.118804931640625 y=0.163299560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.118804931640625 × 214)
    floor (0.118804931640625 × 16384)
    floor (1946.5)     		tx = 1946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163299560546875 × 214)
    floor (0.163299560546875 × 16384)
    floor (2675.5)     		ty = 2675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1946 / 2675 ti = "14/1946/2675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1946/2675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1946 ÷ 214
    1946 ÷ 16384     		x = 0.1187744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2675 ÷ 214
    2675 ÷ 16384     		y = 0.16326904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1187744140625 × 2 - 1) × π
    -0.762451171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.39531100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16326904296875 × 2 - 1) × π
    0.6734619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1157430016308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39531100} λ = -2.39531100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1157430016308))-π/2
    2×atan(8.29574723056771)-π/2
    2×1.45083146121273-π/2
    2.90166292242546-1.57079632675     		φ = 1.33086660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39531100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.241211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33086660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.253039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1946 KachelY 2675 -2.39531100 1.33086660 -137.241211 76.253039
    Oben rechts KachelX + 1 1947 KachelY 2675 -2.39492751 1.33086660 -137.219239 76.253039
    Unten links KachelX 1946 KachelY + 1 2676 -2.39531100 1.33077545 -137.241211 76.247817
    Unten rechts KachelX + 1 1947 KachelY + 1 2676 -2.39492751 1.33077545 -137.219239 76.247817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33086660-1.33077545) × R
    9.11500000000398e-05 × 6371000     		dl = 580.716650000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33086660-1.33077545) × R
    9.11500000000398e-05 × 6371000     		dr = 580.716650000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39531100--2.39492751) × cos(1.33086660) × R
    0.000383489999999931 × 0.237634366807533 × 6371000     		do = 580.591799596345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39531100--2.39492751) × cos(1.33077545) × R
    0.000383489999999931 × 0.237722904799009 × 6371000     		du = 580.808116926597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33086660)-sin(1.33077545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237634366807533-0.237722904799009)×R²
    abs(-2.39492751--2.39531100)×8.85379914761508e-05×R²
    0.000383489999999931×8.85379914761508e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.85379914761508e-05×40589641000000     		ar = 337222.134650518m²