Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19459 / 14333
↖ ↑ ↗
← N 21.973613°
E 33.782959°		 ← 1 132.84 m → N 21.973613°
E 33.793945°		 →
↑
1 132.89 m
↓
↑
1 132.89 m
↓
N 21.963425°
E 33.782959°		 ← 1 132.92 m →
1 283 426 m²		 N 21.963425°
E 33.793945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593856811523438 y=0.437423706054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593856811523438 × 215)
    floor (0.593856811523438 × 32768)
    floor (19459.5)     		tx = 19459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437423706054688 × 215)
    floor (0.437423706054688 × 32768)
    floor (14333.5)     		ty = 14333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19459 / 14333 ti = "15/19459/14333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19459/14333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19459 ÷ 215
    19459 ÷ 32768     		x = 0.593841552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14333 ÷ 215
    14333 ÷ 32768     		y = 0.437408447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593841552734375 × 2 - 1) × π
    0.18768310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58962387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437408447265625 × 2 - 1) × π
    0.12518310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.393274324482941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58962387} λ = 0.58962387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.393274324482941))-π/2
    2×atan(1.48182483440931)-π/2
    2×0.977154115831895-π/2
    1.95430823166379-1.57079632675     		φ = 0.38351190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58962387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.782959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38351190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.973613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19459 KachelY 14333 0.58962387 0.38351190 33.782959 21.973613
    Oben rechts KachelX + 1 19460 KachelY 14333 0.58981561 0.38351190 33.793945 21.973613
    Unten links KachelX 19459 KachelY + 1 14334 0.58962387 0.38333408 33.782959 21.963425
    Unten rechts KachelX + 1 19460 KachelY + 1 14334 0.58981561 0.38333408 33.793945 21.963425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38351190-0.38333408) × R
    0.000177819999999995 × 6371000     		dl = 1132.89121999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38351190-0.38333408) × R
    0.000177819999999995 × 6371000     		dr = 1132.89121999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58962387-0.58981561) × cos(0.38351190) × R
    0.000191739999999996 × 0.927356275847997 × 6371000     		do = 1132.83574344138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58962387-0.58981561) × cos(0.38333408) × R
    0.000191739999999996 × 0.927422797794224 × 6371000     		du = 1132.91700502377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38351190)-sin(0.38333408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927356275847997-0.927422797794224)×R²
    abs(0.58981561-0.58962387)×6.65219462265831e-05×R²
    0.000191739999999996×6.65219462265831e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.65219462265831e-05×40589641000000     		ar = 1283425.70109511m²