Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 19456 / 13313
↖ ↑ ↗
← N 72.394044°
W 73.125000°		 ← 184.76 m → N 72.394044°
W 73.119507°		 →
↑
184.76 m
↓
↑
184.76 m
↓
N 72.392383°
W 73.125000°		 ← 184.78 m →
34 138 m²		 N 72.392383°
W 73.119507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.296882629394531 y=0.203147888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.296882629394531 × 216)
    floor (0.296882629394531 × 65536)
    floor (19456.5)     		tx = 19456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203147888183594 × 216)
    floor (0.203147888183594 × 65536)
    floor (13313.5)     		ty = 13313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 19456 / 13313 ti = "16/19456/13313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/19456/13313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19456 ÷ 216
    19456 ÷ 65536     		x = 0.296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13313 ÷ 216
    13313 ÷ 65536     		y = 0.203140258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.296875 × 2 - 1) × π
    -0.40625 × 3.1415926535     		Λ = -1.27627202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203140258789062 × 2 - 1) × π
    0.593719482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.86522476421638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.27627202} λ = -1.27627202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86522476421638))-π/2
    2×atan(6.45738711244745)-π/2
    2×1.41715537906911-π/2
    2.83431075813822-1.57079632675     		φ = 1.26351443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.27627202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -73.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26351443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.394044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19456 KachelY 13313 -1.27627202 1.26351443 -73.125000 72.394044
    Oben rechts KachelX + 1 19457 KachelY 13313 -1.27617614 1.26351443 -73.119507 72.394044
    Unten links KachelX 19456 KachelY + 1 13314 -1.27627202 1.26348543 -73.125000 72.392383
    Unten rechts KachelX + 1 19457 KachelY + 1 13314 -1.27617614 1.26348543 -73.119507 72.392383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26351443-1.26348543) × R
    2.90000000000568e-05 × 6371000     		dl = 184.759000000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26351443-1.26348543) × R
    2.90000000000568e-05 × 6371000     		dr = 184.759000000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.27627202--1.27617614) × cos(1.26351443) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.302468971803322 × 6371000     		do = 184.763619080017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.27627202--1.27617614) × cos(1.26348543) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.302496613293852 × 6371000     		du = 184.780503925416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26351443)-sin(1.26348543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302468971803322-0.302496613293852)×R²
    abs(-1.27617614--1.27627202)×2.76414905290845e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.76414905290845e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.76414905290845e-05×40589641000000     		ar = 34138.3013138364m²