Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19454 / 14334
↖ ↑ ↗
← N 21.963425°
E 33.728027°		 ← 1 132.92 m → N 21.963425°
E 33.739013°		 →
↑
1 133.02 m
↓
↑
1 133.02 m
↓
N 21.953235°
E 33.728027°		 ← 1 133 m →
1 283 662 m²		 N 21.953235°
E 33.739013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593704223632812 y=0.437454223632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593704223632812 × 215)
    floor (0.593704223632812 × 32768)
    floor (19454.5)     		tx = 19454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437454223632812 × 215)
    floor (0.437454223632812 × 32768)
    floor (14334.5)     		ty = 14334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19454 / 14334 ti = "15/19454/14334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19454/14334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19454 ÷ 215
    19454 ÷ 32768     		x = 0.59368896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14334 ÷ 215
    14334 ÷ 32768     		y = 0.43743896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59368896484375 × 2 - 1) × π
    0.1873779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58866513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43743896484375 × 2 - 1) × π
    0.1251220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.39308257688446
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58866513} λ = 0.58866513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.39308257688446))-π/2
    2×atan(1.48154072529543)-π/2
    2×0.977065203473518-π/2
    1.95413040694704-1.57079632675     		φ = 0.38333408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58866513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.728027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38333408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.963425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19454 KachelY 14334 0.58866513 0.38333408 33.728027 21.963425
    Oben rechts KachelX + 1 19455 KachelY 14334 0.58885687 0.38333408 33.739013 21.963425
    Unten links KachelX 19454 KachelY + 1 14335 0.58866513 0.38315624 33.728027 21.953235
    Unten rechts KachelX + 1 19455 KachelY + 1 14335 0.58885687 0.38315624 33.739013 21.953235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38333408-0.38315624) × R
    0.00017784000000004 × 6371000     		dl = 1133.01864000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38333408-0.38315624) × R
    0.00017784000000004 × 6371000     		dr = 1133.01864000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58866513-0.58885687) × cos(0.38333408) × R
    0.000191739999999996 × 0.927422797794224 × 6371000     		do = 1132.91700502377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58866513-0.58885687) × cos(0.38315624) × R
    0.000191739999999996 × 0.92748929789238 × 6371000     		du = 1132.99823991708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38333408)-sin(0.38315624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927422797794224-0.92748929789238)×R²
    abs(0.58885687-0.58866513)×6.65000981563413e-05×R²
    0.000191739999999996×6.65000981563413e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.65000981563413e-05×40589641000000     		ar = 1283662.10797268m²