Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19452 / 14348
↖ ↑ ↗
← N 21.820708°
E 33.706055°		 ← 1 134.11 m → N 21.820708°
E 33.717041°		 →
↑
1 134.17 m
↓
↑
1 134.17 m
↓
N 21.810508°
E 33.706055°		 ← 1 134.19 m →
1 286 315 m²		 N 21.810508°
E 33.717041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593643188476562 y=0.437881469726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593643188476562 × 215)
    floor (0.593643188476562 × 32768)
    floor (19452.5)     		tx = 19452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437881469726562 × 215)
    floor (0.437881469726562 × 32768)
    floor (14348.5)     		ty = 14348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19452 / 14348 ti = "15/19452/14348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19452/14348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19452 ÷ 215
    19452 ÷ 32768     		x = 0.5936279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14348 ÷ 215
    14348 ÷ 32768     		y = 0.4378662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5936279296875 × 2 - 1) × π
    0.187255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58828163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4378662109375 × 2 - 1) × π
    0.124267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.390398110505737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58828163} λ = 0.58828163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.390398110505737))-π/2
    2×atan(1.47756891251379)-π/2
    2×0.975819761975221-π/2
    1.95163952395044-1.57079632675     		φ = 0.38084320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58828163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.706055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38084320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.820708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19452 KachelY 14348 0.58828163 0.38084320 33.706055 21.820708
    Oben rechts KachelX + 1 19453 KachelY 14348 0.58847338 0.38084320 33.717041 21.820708
    Unten links KachelX 19452 KachelY + 1 14349 0.58828163 0.38066518 33.706055 21.810508
    Unten rechts KachelX + 1 19453 KachelY + 1 14349 0.58847338 0.38066518 33.717041 21.810508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38084320-0.38066518) × R
    0.000178020000000001 × 6371000     		dl = 1134.16542000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38084320-0.38066518) × R
    0.000178020000000001 × 6371000     		dr = 1134.16542000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58828163-0.58847338) × cos(0.38084320) × R
    0.000191750000000046 × 0.928351545339893 × 6371000     		do = 1134.11068558564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58828163-0.58847338) × cos(0.38066518) × R
    0.000191750000000046 × 0.928417701266333 × 6371000     		du = 1134.191504262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38084320)-sin(0.38066518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928351545339893-0.928417701266333)×R²
    abs(0.58847338-0.58828163)×6.61559264396594e-05×R²
    0.000191750000000046×6.61559264396594e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.61559264396594e-05×40589641000000     		ar = 1286314.95631477m²