Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19450 / 14778
↖ ↑ ↗
← N 17.371610°
E 33.684082°		 ← 1 165.86 m → N 17.371610°
E 33.695068°		 →
↑
1 165.96 m
↓
↑
1 165.96 m
↓
N 17.361124°
E 33.684082°		 ← 1 165.92 m →
1 359 378 m²		 N 17.361124°
E 33.695068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593582153320312 y=0.451004028320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593582153320312 × 215)
    floor (0.593582153320312 × 32768)
    floor (19450.5)     		tx = 19450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451004028320312 × 215)
    floor (0.451004028320312 × 32768)
    floor (14778.5)     		ty = 14778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19450 / 14778 ti = "15/19450/14778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19450/14778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19450 ÷ 215
    19450 ÷ 32768     		x = 0.59356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14778 ÷ 215
    14778 ÷ 32768     		y = 0.45098876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59356689453125 × 2 - 1) × π
    0.1871337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58789814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45098876953125 × 2 - 1) × π
    0.0980224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.307946643159241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58789814} λ = 0.58789814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.307946643159241))-π/2
    2×atan(1.36062838816805)-π/2
    2×0.936994059039788-π/2
    1.87398811807958-1.57079632675     		φ = 0.30319179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58789814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.684082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30319179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.371610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19450 KachelY 14778 0.58789814 0.30319179 33.684082 17.371610
    Oben rechts KachelX + 1 19451 KachelY 14778 0.58808988 0.30319179 33.695068 17.371610
    Unten links KachelX 19450 KachelY + 1 14779 0.58789814 0.30300878 33.684082 17.361124
    Unten rechts KachelX + 1 19451 KachelY + 1 14779 0.58808988 0.30300878 33.695068 17.361124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30319179-0.30300878) × R
    0.000183010000000039 × 6371000     		dl = 1165.95671000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30319179-0.30300878) × R
    0.000183010000000039 × 6371000     		dr = 1165.95671000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58789814-0.58808988) × cos(0.30319179) × R
    0.000191739999999996 × 0.95438838603444 × 6371000     		do = 1165.85750803972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58789814-0.58808988) × cos(0.30300878) × R
    0.000191739999999996 × 0.954443010968433 × 6371000     		du = 1165.92423652296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30319179)-sin(0.30300878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95438838603444-0.954443010968433)×R²
    abs(0.58808988-0.58789814)×5.46249339934413e-05×R²
    0.000191739999999996×5.46249339934413e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.46249339934413e-05×40589641000000     		ar = 1359378.28945832m²