Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19450 / 14326
↖ ↑ ↗
← N 22.044913°
E 33.684082°		 ← 1 132.27 m → N 22.044913°
E 33.695068°		 →
↑
1 132.32 m
↓
↑
1 132.32 m
↓
N 22.034730°
E 33.684082°		 ← 1 132.35 m →
1 282 131 m²		 N 22.034730°
E 33.695068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593582153320312 y=0.437210083007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593582153320312 × 215)
    floor (0.593582153320312 × 32768)
    floor (19450.5)     		tx = 19450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437210083007812 × 215)
    floor (0.437210083007812 × 32768)
    floor (14326.5)     		ty = 14326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19450 / 14326 ti = "15/19450/14326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19450/14326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19450 ÷ 215
    19450 ÷ 32768     		x = 0.59356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14326 ÷ 215
    14326 ÷ 32768     		y = 0.43719482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59356689453125 × 2 - 1) × π
    0.1871337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58789814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43719482421875 × 2 - 1) × π
    0.1256103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.394616557672302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58789814} λ = 0.58789814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.394616557672302))-π/2
    2×atan(1.48381512430064)-π/2
    2×0.977776323595209-π/2
    1.95555264719042-1.57079632675     		φ = 0.38475632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58789814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.684082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38475632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.044913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19450 KachelY 14326 0.58789814 0.38475632 33.684082 22.044913
    Oben rechts KachelX + 1 19451 KachelY 14326 0.58808988 0.38475632 33.695068 22.044913
    Unten links KachelX 19450 KachelY + 1 14327 0.58789814 0.38457859 33.684082 22.034730
    Unten rechts KachelX + 1 19451 KachelY + 1 14327 0.58808988 0.38457859 33.695068 22.034730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38475632-0.38457859) × R
    0.000177729999999987 × 6371000     		dl = 1132.31782999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38475632-0.38457859) × R
    0.000177729999999987 × 6371000     		dr = 1132.31782999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58789814-0.58808988) × cos(0.38475632) × R
    0.000191739999999996 × 0.926889921406103 × 6371000     		do = 1132.26605626219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58789814-0.58808988) × cos(0.38457859) × R
    0.000191739999999996 × 0.926956614750925 × 6371000     		du = 1132.34752722091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38475632)-sin(0.38457859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926889921406103-0.926956614750925)×R²
    abs(0.58808988-0.58789814)×6.66933448223439e-05×R²
    0.000191739999999996×6.66933448223439e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.66933448223439e-05×40589641000000     		ar = 1282131.17269371m²