Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1945 / 2357
↖ ↑ ↗
← S 26.194877°
W  9.052734°		 ← 8 769.28 m → S 26.194877°
W  8.964844°		 →
↑
8 766.30 m
↓
↑
8 766.30 m
↓
S 26.273714°
W  9.052734°		 ← 8 763.34 m →
76 848 137 m²		 S 26.273714°
W  8.964844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4749755859375 y=0.5755615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4749755859375 × 212)
    floor (0.4749755859375 × 4096)
    floor (1945.5)     		tx = 1945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5755615234375 × 212)
    floor (0.5755615234375 × 4096)
    floor (2357.5)     		ty = 2357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1945 / 2357 ti = "12/1945/2357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1945/2357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1945 ÷ 212
    1945 ÷ 4096     		x = 0.474853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2357 ÷ 212
    2357 ÷ 4096     		y = 0.575439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474853515625 × 2 - 1) × π
    -0.05029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15800002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575439453125 × 2 - 1) × π
    -0.15087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.474000063443115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15800002} λ = -0.15800002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.474000063443115))-π/2
    2×atan(0.622507213073889)-π/2
    2×0.55680474083028-π/2
    1.11360948166056-1.57079632675     		φ = -0.45718685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15800002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.052734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45718685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.194877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1945 KachelY 2357 -0.15800002 -0.45718685 -9.052734 -26.194877
    Oben rechts KachelX + 1 1946 KachelY 2357 -0.15646604 -0.45718685 -8.964844 -26.194877
    Unten links KachelX 1945 KachelY + 1 2358 -0.15800002 -0.45856282 -9.052734 -26.273714
    Unten rechts KachelX + 1 1946 KachelY + 1 2358 -0.15646604 -0.45856282 -8.964844 -26.273714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45718685--0.45856282) × R
    0.00137597 × 6371000     		dl = 8766.30487000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45718685--0.45856282) × R
    0.00137597 × 6371000     		dr = 8766.30487000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15800002--0.15646604) × cos(-0.45718685) × R
    0.00153397999999999 × 0.897297842901807 × 6371000     		do = 8769.27977694225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15800002--0.15646604) × cos(-0.45856282) × R
    0.00153397999999999 × 0.896689605254309 × 6371000     		du = 8763.33547857581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45718685)-sin(-0.45856282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897297842901807-0.896689605254309)×R²
    abs(-0.15646604--0.15800002)×0.000608237647497289×R²
    0.00153397999999999×0.000608237647497289×6371000²
    0.00153397999999999×0.000608237647497289×40589641000000     		ar = 76848137.3738156m²