Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1945 / 1097
↖ ↑ ↗
← N 63.821288°
W  9.052734°		 ← 4 311.57 m → N 63.821288°
W  8.964844°		 →
↑
4 314.50 m
↓
↑
4 314.50 m
↓
N 63.782486°
W  9.052734°		 ← 4 317.51 m →
18 615 112 m²		 N 63.782486°
W  8.964844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4749755859375 y=0.2679443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4749755859375 × 212)
    floor (0.4749755859375 × 4096)
    floor (1945.5)     		tx = 1945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2679443359375 × 212)
    floor (0.2679443359375 × 4096)
    floor (1097.5)     		ty = 1097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1945 / 1097 ti = "12/1945/1097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1945/1097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1945 ÷ 212
    1945 ÷ 4096     		x = 0.474853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1097 ÷ 212
    1097 ÷ 4096     		y = 0.267822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474853515625 × 2 - 1) × π
    -0.05029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15800002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267822265625 × 2 - 1) × π
    0.46435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.45881572923755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15800002} λ = -0.15800002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45881572923755))-π/2
    2×atan(4.30086312472803)-π/2
    2×1.34234396458851-π/2
    2.68468792917702-1.57079632675     		φ = 1.11389160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15800002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.052734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11389160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.821288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1945 KachelY 1097 -0.15800002 1.11389160 -9.052734 63.821288
    Oben rechts KachelX + 1 1946 KachelY 1097 -0.15646604 1.11389160 -8.964844 63.821288
    Unten links KachelX 1945 KachelY + 1 1098 -0.15800002 1.11321439 -9.052734 63.782486
    Unten rechts KachelX + 1 1946 KachelY + 1 1098 -0.15646604 1.11321439 -8.964844 63.782486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11389160-1.11321439) × R
    0.000677210000000095 × 6371000     		dl = 4314.5049100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11389160-1.11321439) × R
    0.000677210000000095 × 6371000     		dr = 4314.5049100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15800002--0.15646604) × cos(1.11389160) × R
    0.00153397999999999 × 0.441172457439575 × 6371000     		do = 4311.57250602256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15800002--0.15646604) × cos(1.11321439) × R
    0.00153397999999999 × 0.44178009961464 × 6371000     		du = 4317.51098484491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11389160)-sin(1.11321439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441172457439575-0.44178009961464)×R²
    abs(-0.15646604--0.15800002)×0.000607642175064871×R²
    0.00153397999999999×0.000607642175064871×6371000²
    0.00153397999999999×0.000607642175064871×40589641000000     		ar = 18615112.2565069m²