Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1945 / 1079
↖ ↑ ↗
← N 64.510643°
W  9.052734°		 ← 4 205.74 m → N 64.510643°
W  8.964844°		 →
↑
4 208.68 m
↓
↑
4 208.68 m
↓
N 64.472794°
W  9.052734°		 ← 4 211.57 m →
17 712 889 m²		 N 64.472794°
W  8.964844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4749755859375 y=0.2635498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4749755859375 × 212)
    floor (0.4749755859375 × 4096)
    floor (1945.5)     		tx = 1945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2635498046875 × 212)
    floor (0.2635498046875 × 4096)
    floor (1079.5)     		ty = 1079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1945 / 1079 ti = "12/1945/1079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1945/1079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1945 ÷ 212
    1945 ÷ 4096     		x = 0.474853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1079 ÷ 212
    1079 ÷ 4096     		y = 0.263427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474853515625 × 2 - 1) × π
    -0.05029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15800002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263427734375 × 2 - 1) × π
    0.47314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4864273834187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15800002} λ = -0.15800002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4864273834187))-π/2
    2×atan(4.42127176092058)-π/2
    2×1.34835972632277-π/2
    2.69671945264555-1.57079632675     		φ = 1.12592313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15800002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.052734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12592313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.510643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1945 KachelY 1079 -0.15800002 1.12592313 -9.052734 64.510643
    Oben rechts KachelX + 1 1946 KachelY 1079 -0.15646604 1.12592313 -8.964844 64.510643
    Unten links KachelX 1945 KachelY + 1 1080 -0.15800002 1.12526253 -9.052734 64.472794
    Unten rechts KachelX + 1 1946 KachelY + 1 1080 -0.15646604 1.12526253 -8.964844 64.472794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12592313-1.12526253) × R
    0.000660600000000011 × 6371000     		dl = 4208.68260000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12592313-1.12526253) × R
    0.000660600000000011 × 6371000     		dr = 4208.68260000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15800002--0.15646604) × cos(1.12592313) × R
    0.00153397999999999 × 0.430343422915205 × 6371000     		do = 4205.74049694154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15800002--0.15646604) × cos(1.12526253) × R
    0.00153397999999999 × 0.430939629631134 × 6371000     		du = 4211.56721717522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12592313)-sin(1.12526253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430343422915205-0.430939629631134)×R²
    abs(-0.15646604--0.15800002)×0.000596206715928915×R²
    0.00153397999999999×0.000596206715928915×6371000²
    0.00153397999999999×0.000596206715928915×40589641000000     		ar = 17712888.9017728m²