Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19444 / 14308
↖ ↑ ↗
← N 22.228090°
E 33.618164°		 ← 1 130.85 m → N 22.228090°
E 33.629150°		 →
↑
1 130.85 m
↓
↑
1 130.85 m
↓
N 22.217920°
E 33.618164°		 ← 1 130.94 m →
1 278 875 m²		 N 22.217920°
E 33.629150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593399047851562 y=0.436660766601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593399047851562 × 215)
    floor (0.593399047851562 × 32768)
    floor (19444.5)     		tx = 19444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436660766601562 × 215)
    floor (0.436660766601562 × 32768)
    floor (14308.5)     		ty = 14308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19444 / 14308 ti = "15/19444/14308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19444/14308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19444 ÷ 215
    19444 ÷ 32768     		x = 0.5933837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14308 ÷ 215
    14308 ÷ 32768     		y = 0.4366455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5933837890625 × 2 - 1) × π
    0.186767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58674765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4366455078125 × 2 - 1) × π
    0.126708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.398068014444946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58674765} λ = 0.58674765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.398068014444946))-π/2
    2×atan(1.48894529625133)-π/2
    2×0.979374845494126-π/2
    1.95874969098825-1.57079632675     		φ = 0.38795336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58674765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.618164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38795336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.228090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19444 KachelY 14308 0.58674765 0.38795336 33.618164 22.228090
    Oben rechts KachelX + 1 19445 KachelY 14308 0.58693940 0.38795336 33.629150 22.228090
    Unten links KachelX 19444 KachelY + 1 14309 0.58674765 0.38777586 33.618164 22.217920
    Unten rechts KachelX + 1 19445 KachelY + 1 14309 0.58693940 0.38777586 33.629150 22.217920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38795336-0.38777586) × R
    0.000177499999999997 × 6371000     		dl = 1130.85249999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38795336-0.38777586) × R
    0.000177499999999997 × 6371000     		dr = 1130.85249999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58674765-0.58693940) × cos(0.38795336) × R
    0.000191750000000046 × 0.925685231033092 × 6371000     		do = 1130.85341137562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58674765-0.58693940) × cos(0.38777586) × R
    0.000191750000000046 × 0.92575236375322 × 6371000     		du = 1130.93542334148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38795336)-sin(0.38777586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925685231033092-0.92575236375322)×R²
    abs(0.58693940-0.58674765)×6.7132720127705e-05×R²
    0.000191750000000046×6.7132720127705e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.7132720127705e-05×40589641000000     		ar = 1278874.78246353m²