Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19442 / 14305
↖ ↑ ↗
← N 22.258597°
E 33.596192°		 ← 1 130.55 m → N 22.258597°
E 33.607178°		 →
↑
1 130.66 m
↓
↑
1 130.66 m
↓
N 22.248428°
E 33.596192°		 ← 1 130.63 m →
1 278 314 m²		 N 22.248428°
E 33.607178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593338012695312 y=0.436569213867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593338012695312 × 215)
    floor (0.593338012695312 × 32768)
    floor (19442.5)     		tx = 19442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436569213867188 × 215)
    floor (0.436569213867188 × 32768)
    floor (14305.5)     		ty = 14305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19442 / 14305 ti = "15/19442/14305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19442/14305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19442 ÷ 215
    19442 ÷ 32768     		x = 0.59332275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14305 ÷ 215
    14305 ÷ 32768     		y = 0.436553955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59332275390625 × 2 - 1) × π
    0.1866455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58636416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436553955078125 × 2 - 1) × π
    0.12689208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.398643257240387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58636416} λ = 0.58636416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.398643257240387))-π/2
    2×atan(1.48980204770223)-π/2
    2×0.979641063394029-π/2
    1.95928212678806-1.57079632675     		φ = 0.38848580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58636416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.596192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38848580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.258597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19442 KachelY 14305 0.58636416 0.38848580 33.596192 22.258597
    Oben rechts KachelX + 1 19443 KachelY 14305 0.58655590 0.38848580 33.607178 22.258597
    Unten links KachelX 19442 KachelY + 1 14306 0.58636416 0.38830833 33.596192 22.248428
    Unten rechts KachelX + 1 19443 KachelY + 1 14306 0.58655590 0.38830833 33.607178 22.248428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38848580-0.38830833) × R
    0.000177470000000013 × 6371000     		dl = 1130.66137000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38848580-0.38830833) × R
    0.000177470000000013 × 6371000     		dr = 1130.66137000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58636416-0.58655590) × cos(0.38848580) × R
    0.000191739999999996 × 0.925483680619203 × 6371000     		do = 1130.54822691357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58636416-0.58655590) × cos(0.38830833) × R
    0.000191739999999996 × 0.92555088945904 × 6371000     		du = 1130.63032758838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38848580)-sin(0.38830833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925483680619203-0.92555088945904)×R²
    abs(0.58655590-0.58636416)×6.72088398361304e-05×R²
    0.000191739999999996×6.72088398361304e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.72088398361304e-05×40589641000000     		ar = 1278313.62447931m²