Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19442 / 14287
↖ ↑ ↗
← N 22.441495°
E 33.596192°		 ← 1 129.07 m → N 22.441495°
E 33.607178°		 →
↑
1 129.13 m
↓
↑
1 129.13 m
↓
N 22.431340°
E 33.596192°		 ← 1 129.15 m →
1 274 911 m²		 N 22.431340°
E 33.607178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593338012695312 y=0.436019897460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593338012695312 × 215)
    floor (0.593338012695312 × 32768)
    floor (19442.5)     		tx = 19442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436019897460938 × 215)
    floor (0.436019897460938 × 32768)
    floor (14287.5)     		ty = 14287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19442 / 14287 ti = "15/19442/14287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19442/14287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19442 ÷ 215
    19442 ÷ 32768     		x = 0.59332275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14287 ÷ 215
    14287 ÷ 32768     		y = 0.436004638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59332275390625 × 2 - 1) × π
    0.1866455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58636416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436004638671875 × 2 - 1) × π
    0.12799072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.402094714013031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58636416} λ = 0.58636416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.402094714013031))-π/2
    2×atan(1.49495291896108)-π/2
    2×0.981237150574921-π/2
    1.96247430114984-1.57079632675     		φ = 0.39167797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58636416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.596192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39167797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.441495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19442 KachelY 14287 0.58636416 0.39167797 33.596192 22.441495
    Oben rechts KachelX + 1 19443 KachelY 14287 0.58655590 0.39167797 33.607178 22.441495
    Unten links KachelX 19442 KachelY + 1 14288 0.58636416 0.39150074 33.596192 22.431340
    Unten rechts KachelX + 1 19443 KachelY + 1 14288 0.58655590 0.39150074 33.607178 22.431340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39167797-0.39150074) × R
    0.000177229999999973 × 6371000     		dl = 1129.13232999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39167797-0.39150074) × R
    0.000177229999999973 × 6371000     		dr = 1129.13232999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58636416-0.58655590) × cos(0.39167797) × R
    0.000191739999999996 × 0.924269813322798 × 6371000     		do = 1129.06539631547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58636416-0.58655590) × cos(0.39150074) × R
    0.000191739999999996 × 0.924337454559975 × 6371000     		du = 1129.1480251963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39167797)-sin(0.39150074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924269813322798-0.924337454559975)×R²
    abs(0.58655590-0.58636416)×6.76412371770629e-05×R²
    0.000191739999999996×6.76412371770629e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.76412371770629e-05×40589641000000     		ar = 1274910.89447122m²